→→→
解析：由OP＝λOA＋μOB，且λ＋2μ＝2， λ→→→→→?1－?OB? 则OA·OP＝OA·?λOA＋??2??λ→→→
1－?OA·OB， ＝λOA2＋??2?
→→
又|OB|＝2，|AB|＝1，∠AOB＝45°， →
所以由余弦定理求得|OA|＝1，
λλ2→→
1－?×1×2×＝1＋， 所以OA·OP＝λ＋??2?22→
|OP|＝＝ ＝
λ→→??λOA1－?OB? ＋??2??→
λ2|OA|2＋2λ
λ→→→??1－λ?OA1－?|OB|2 ·OB＋?2??2?
22
λ2
2
＋2，
λ
1＋→→2OA·OP→→
故OA在OP上的投影＝
→λ2|OP|＋2
2＝
2λ＋2
·2 (*)． 2λ＋4
（λ＋2）2
λ2＋4
421＋∈?－，0?；
4?2?λ＋λ（λ＋2）2
；
λ2＋4
2
当λ＜－2时，(*)式＝－·2＝－
22
4λ21＋2＝－2λ＋4
2
当λ≥－2时，(*)式可化为2①λ＝0，上式＝
2； 2
22
1＋
②－2≤λ＜0，上式＝
2
∈?0，?； 4?2?λ＋λ
4③λ＞0，上式＝
22
421＋∈?，1?.
4?2?λ＋λ
2→→
综上，OA在OP上的投影的取值范围是?－，1?.
?2?答案：?－?
2?
，1 2?
- 17 -
1r→→→→→
17．已知OA，OB是非零不共线的向量，设OC＝·OA＋OB，定义点集P＝
r＋1r＋1→→→→??KB??·KCKA·KC→→
?K?→＝→，KC≠0?，当K1，K2∈P时，若对于任意的r≥3，不等式|K→1K2|≤c|AB|
??|KA|??|KB|
恒成立，则实数c的最小值为________．
1r→→→
解析：由OC＝·OA＋OB，可得A，B，C三点共线，
r＋1r＋1→→→→
KB·KCKA·KC→→由＝，可得|KC|cos∠AKC＝|KC|cos∠BKC，
→→|KB||KA|即有∠AKC＝∠BKC，则KC为∠AKB的角平分线． 由角平分线的性质定理可知
|KA||AC|
＝＝r， |KB||BC|
以AB所在的直线为x轴，以线段AB上某一点为原点建立直角坐标系，设点K(x，y)，A(－a，0)，B(b，0)，
（x＋a）2＋y22所以＝r，
（x－b）2＋y2
化简得(1－r2)x2＋(1－r2)y2＋(2a＋2br2)x＋(a2－b2r2)＝0.
由方程知K的轨迹是圆心在AB上的圆，当|K1K2|为直径时最大，方便计算，令K1K2与AB共线，如图，
由|K1A|＝r|K1B|，可得|K1B|＝由|K2A|＝r|K2B|，可得|K2B|＝可得|K1K2|＝
|AB|
， r＋1|AB|
， r－1
|AB||AB|2r2
＋＝2|AB|＝|AB|，
1r＋1r－1r－1
r－r
118
而易知r－≥3－＝，
r333|K1K2|3
即有|K1K2|≤|AB|，即≤，
4|AB|4|K1K2|?3
即c≥?＝?|AB|?max4， 3故c的最小值为. 4
- 18 -
3答案： 4
18．在△ABC中，已知C＝(1)求角A的值；
→→
(2)若BC＝2BD，AD＝7，求△ABC的面积．
π
解：(1)因为p⊥q，所以p·q＝0?p·q＝2sin A＋2cos B＝0，又C＝，
6所以sin A＋cos B＝sin A＋cos?化简得tan A＝5π
－A?＝0， ?6?
π
，向量p＝(sin A，2)，q＝(2，cos B)，且p⊥q. 6
π3
，A∈(0，π)，所以A＝. 36
→→
(2)因为BC＝2BD，所以D为BC边的中点， →→
设|BD|＝x，|BC|＝2x，
π2π→
由(1)知A＝C＝，所以|BA|＝2x，B＝，
63在△ABD中，由余弦定理，得
2π→→→→→
|AD|2＝|BA|2＋|BD|2－2|BA|·|BD|·cos
32π
＝(2x)2＋x2－2·2x·x·cos＝7，
3所以x＝1，所以AB＝BC＝2，
2π11
所以S△ABC＝BA·BC·sin B＝×2×2×sin＝3.
223
19．已知m＝(2sin x，sin x－cos x)，n＝(3cos x，sin x＋cos x)，记函数f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合；
(2)设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝2，c＝3，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意，得f(x)＝m·n＝23sin xcos x＋sin2x－cos2x＝3sin 2x－(cos2 x－sin2 x)＝3π
sin 2x－cos 2x＝2sin?2x－?，所以f(x)max＝2；
6??
ππππ
当f(x)取最大值时，即sin?2x－?＝1，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋6236??
??π
(k∈Z)，所以x的取值集合为?x?x＝kπ＋，k∈Z?.
3???
π
(2)由f(C)＝2，得sin?2C－?＝1，又0＜C＜π，
6??
- 19 -
ππ11π即－＜2C－＜，
666πππ所以2C－＝，解得C＝，
623
在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
1
得3＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤3，当且仅当a＝b＝3时，取等号，所以S△ABC＝absin C
＝
34ab≤334
， 所以△ABC面积的最大值为33
4
.
2- 20 -
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