概率论与数理统计试题及答案2[1]

概率论与数理统计B

二．填空题（每小题3分，共15分）

1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则P(A2．设随机变量?B)= .

~B(n,p), E(?)?3, D(?)?1.2，则n=______.

?5，标准差为?(?)?2，则E(?2)=_______.

3．随机变量ξ的期望为E(?)4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为

f(x)?a，a为常数，则P(ξ

x2?2x?2≥0)=_______.

三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.

四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为

?A, 当0≤x≤3? f(x)??1?x??0, 当x<0或x>3(1) 求常数A; (2) 求P(ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是

η＝1 η=2 η＝4 η＝5 0.12 0.15 0.10 0.08 0.01 0.11 0.07 0.11 0.10 ξ＝0 0.05 ξ＝1 0.03 ξ＝2 0.07 (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求???的分布及E(???)；

六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？ 七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.

八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？ (注：?(1.28)?0.90,?(1.65)?0.95) 九．(本题6分)设事件A、B、C相互独立，试证明A________.

十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：

1820，1834，1831，1816，1824

假定重复测量所得温度?B与C相互独立.

某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为

~N(?,?2).估计??10，求总体温度真值μ

的0.95的置信区间. (注：

?(1.96)?0.975,?(1.65)?0.95)

答案一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）

二．1．0.85、2. n=5、3. E(?2)=29、4. 0.94、5. 3/4

4

三．把4个球随机放入5个盒子中共有5=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故

P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分

(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

12C5C4?30种方法----------------------------------------------------7分

4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故

P(B)??36072?--------------------------------------------------10分 625125四．解：（1）

???f(x)dx??1A1---------------------3分 dx?Aln4,A?1?xln403 （2）P(??1)???A1dx?Aln2?-------------------------------6分 1?x20Axdx?A[x?ln(1?x)]30 1?x03（3）E(?)????xf(x)dx???13(3?ln4)??1------------------------------------10分 ln4ln4五．解：（1）ξ的边缘分布为

1 2??0 ??0.390.320.29??--------------------------------2分 ??η的边缘分布为

?1 2 4 5???0.150.230.340.28??---------------------------4分 ??因P(??0,??1)?0.05?P(??0)P(??1),故ξ

与η不相互独立-------5分

（2）???的分布列为

??? P 因此，

0 1 2 4 5 8 10 0.39 0.03 0.17 0.09 0.11 0.11 0.10 E(???)?0?0.39?1?0.03?2?0.17?4?0.09?5?0.11?8?0.11?10?0.10?3.16

-------10分

另解：若ξ与η相互独立,则应有

P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2); P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2); 因此，

P(??0,??1)P(??0,??2)P(??0) ??P(??1,??1)P(??1,??2)P(??1)但

0.050.12?，故ξ0.030.10与η不相互独立。

六．解：由全概率公式及Bayes公式

P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分 P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分

七．令Ak={在第k次射击时击中目标}，A0={4次都未击中目标}。

于是P(A1)=0.3; P(A2)=0.7×0.3=0.21; P(A3)=0.7×0.3=0.147

2

P(A4)= 0.73×0.3=0.1029; P(A0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分

在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。-------------------------------------------------------------------------------------------8分

因此，

E(?)?0.3?90?0.21?80?0.147?70?0.1029?60?

0.2401?(?140)?26.65--------------------12分

八．解：设他至少应购买n个零件，则n≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p), p=0.95. 因n很大，故B(n,p)近似与N(np,npq) ------------4分

由条件有

P(??2000)?1??(2000?np)?0.95-------------------------------------------8分

npq200?np??1.65，解得n=2123,

npq因?(1.65)?0.95，故即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分 九． 证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C).

P((AB)C)?P(ACBC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)------2分

?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)---------------------------4分

?[P(A)?P(B)?P(A)P(B)]P(C)?P(AB)P(C)

故

AB与C相互独立. -------------------------------------------------------6分

填空题（每小题4分，共40分）

一、

1、 设A与B为互不相容的两个事件，P(B)?0，则P(A|B)? 0 。

2、 事件A与B相互独立，P(A)?0.4,P(A?B)?0.7, 则 P(B)? 0.5 。

3、 设离散型随机变量X的分布函数为

0 x??1

F(x)? a ?1?x?1

2?a 1?x?2 3 a?b x?2

且P(X?2)?1 ，则a2? 15 ,b? 。 66

4、 某人投篮命中率为

5、 设随机变量X与Y相互独立，X服从“0-1”分布，p?0.4；Y服从??2的泊松分布

?(2)，则E(X?Y)?____2.4_______,D(X?Y)?____2.24_______.

44，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___________。 5625

6、 已知D(X)?16,D(Y)?9,?XY?

7、 设总体X服从正态分布N(0,?量

22X1?X222X3?X41, 则D(X?2Y)?___36___. 32),从总体中抽取样本X1,X2,X3,X4,则统计

服从_______F(2,2)______________分布。

8、 设总体X服从正态分布N(?,1),其中?为未知参数，从总体X中抽取容量为

16的样本，样本均值X?5,则总体均值?的95%的置信区间为____（4.51，5.49）____。（u0.975?1.96）

9、 在假设检验中，显著性水平?是用来控制犯第一类错误的概率，第一类错误是指

___原假设为真却拒绝原假设____________。

10、

若X~N(?1,?12),Y~N(?2,?22)，且X与Y相互独立，则Z?X?Y服从

22______N(?1??2,?1??2)______分布。

二、 计算题（每小题10分，共60分）

1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽

样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。

1C1C3解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：622?…………………

7C8 （2）第二次才取得次品的概率为：

6?23＝……………………… 8?714 （3）令A1表示“第一次取出的是正品” ，A2表示“第一次取出的是次品” B表示“第二次取出的是次品”

第二次取出的是次品的概率为：

P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?26121???? 78784 ……………………………

2、 （10分）设随机变量X的概率密度

f(x)? Ax?1 0?x?2 0 其它

求：（1）A的值；（2）X的分布函数F(x)；（3）P{1.5?x?2.5}. 解：（1）由

21(Ax?1)dx?1?A??可得，……………… f(x)dx?1?0???2?? 所以，

f(x)? ?1x?1 0?x?2 2 0 其它

（2）F(x)? 0， x?0