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2016年温州中学自主招生 数学模拟试卷
2016.2
（本卷满分：150分 考试时间：90分钟） 注：不得使用计算器及其他任何电子产品 一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
1. 若两个整数x、y满足方程(2x+9y)2 006+(4x-y)2 006=7 777777，①就称数组(x,y)
为方程①的一组整数解．则方程①的整数解的组数为··············( ) A．0 B．1 C．2 D．3
2. 已知点A、B分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动，AB?4，则以AB为
直径的圆周所扫过的区域面积为·······························( ) A．4? B．8? C．2??4 D．6??4
1??3. 若x∈R，则?x3?1?4?展开式中常数项为······················( )
x??A．-1259 B．-1260 C．-1511 D．-1512 4. 已知等腰直角ΔPQR的三个顶点分别在等腰直角ΔABC的三条边上，记ΔPQR，
SΔABC的面积分别为SΔPQR，SΔABC，则?PQR的最小值为··············( )
S?ABC1111A． B． C． D．
34525. 若过点P(1,0)，Q(2,0)，R(4,0)，S(8,0)作四条直线构成一个正方形，则
该正方形的面积不可能为·····································( )
261961636A． B． C． D．
17553 5二、填空题（本大题分10小题，每题6分，共60分） 6. 已知a，b是不为零的实数，对于任意实数x，y，都有
?a2?b2??x2?y2?+8bx+8ay-k2+k+28≥0，其中k是实数，则k的最大值为 ． 7. 一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m，n?2为给定的整数．每
道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为p1?p2?…?pn，则p1?pn的最大可能值
+
9为 ．[用含m，n的代数式表示]
8. 某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，
且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是 ．
?1515??是正整数．则这样的有序数对(a,b)?9. 设a、b是正整数，且满足2??ab???共有 对．
10. 已知：对任意不小于k的4个互不相同的实数a，b，c，d，都存在a，b，c，d
的一个排列p，q，r，s，使得方程(x2?px?q)(x2?rx?s)?0有4个互不相同的实数根．则满足下述条件的最小正实数k为 ．
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11. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，BC=63，P是BC延长线上向远离点
C方向运动的一个动点，AP交CD于点E，连结BE并延长交DP于点Q，如果动点P在初始位置时∠QBP=15°，在终止位置时∠QBP=35°，点Q运动时走过的曲线段长度为 ．
第12题
D A
Q
E P B C
第11题
12. 如图，在?ABC中，D为边AC上一点，且∠ABD=∠C，点E在边AB上，且
BE=DE，M为边CD的中点，AH⊥DE于点H，已知AH=2-3，AB=1，则∠AME的度数为 ．
13. 给定大于2004的正整数n，将1、2、3、…、n2分别填入n×n棋盘(由n行n列方
格构成)的方格中，使每个方格恰有一个数．如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”．则棋盘中“优格”个数的最大值为 ． 14. 已知ΔABC的三边长BC?a，CA?b，AB?c，a，b，c都是整数，且a，b 的
最大公约数为2．点G和点I分别为ΔABC的重心和内心，且?GIC?90?．则ΔABC的周长为 ．
15. 如果一个正整数在将它的七进制看做十进制时，所得的数为原数的2倍，则
称该正整数为“好数”．则“好数”的个数为 ．
三、解答题（本大题分4小题，第16题12分，第17题18分，第18、19题每
题20分，共70分）
(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)???1． 16. (1)求证：
(c?a)(c?b)(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)???1?1?1???y??13z???,?5?x???12???(2)求方程组??x?yz??的所有实数解． ???xy?yz?zx?1?
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17. 在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七
名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？
18. 如图，AB是圆ω的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足
AE=EF=FB．连接PE、PF并延长，与圆ω分别相交于点C、D． 求证： EF·CD=AC·BD．
第19题
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19. 圆O(圆心为O)与直线l相离，作OP⊥l，P为垂足．设点Q是l上任意一点(不
与点P重合)，过点Q作圆O的两条切线QA和QB，A和B为切点，AB与OP相交于点K．过点P作PM⊥QB，PN⊥QA，M和N为垂足．求证：直线MN平分线段KP．
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2016年温州中学自主招生 数学模拟试卷
参 考 答 案
一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）
[ 1~5 ] A C A D C
二、简答题(本大题分10小题，每空6分，共60分)
6、 4 7、 m(n-1) 8、 9、 7 10、 4 11、 61 2434? 12、 15° 313、 n?n?2004? 14、 35 15、 11
三、解答题（本大题分4小题，第16题12分，第17题18分，第18、19题每
题20分，共70分）
16、(12分)(可能有多种解法) (1)[解]构造函数f?x??则f??a??(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)???1，(1分)
(c?a)(c?b)(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(?a?b)(?a?c)?1?0，(1分)
(a?b)(a?c)根据对称性得f??a??f??b??f??c??0．(1分)
又a≠b≠c，则二次函数的图像与x轴有三个不同的交点，则说明函数f(x)恒等于0，故所证等式成立．(2分) (共5分)
(2)[解]显然x，y，z同号．由②得x=
1?yz(1分)，代入①得： y?z22?y2?1??1?yzy?z???1?yz???y?z?y2?1??z2?1?12??y?z?1?yz???5.?y?z??1?yz??5?y?z??1?yz?， ?y???5?????即5(z2+1)y=12(y+z)(1-yz)，同理5(y2+1)z=13(y+z)(1-yz)．(2分)
整理得12y2z+17yz2=7y+12z，18y2z+13yz2=13y+8z，
22两式相加，得30yz(y+z)=20(y+z)，∴ yz=,y?,代入①解得z=±1．(2分)
33z?12??12?故原方程组有两组解?,,1?和??,?,?1?.(2分) (共7分)
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