第3讲 功能互考
题一：如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为（ ）
111πA．mgR B．mgR C．mgR D．mgR 4324
题二：如图所示，一内壁粗糙的环形细圆管，位于竖直平面内，环形的半径为R（比细管的直径大得多）。在圆管中有一个直径比细管内径略小的小球（可视为质点），小球的质量为m，设某一时刻小球通过轨道的最低点，对管壁的压力为6mg。此后小球做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则此过程中小球克服摩擦力所做的功为（ ）
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A．mgR B．mgR C．2mgR D． mgR 22
题三：如图所示，一足够长的直螺线管竖直放置，螺线管两端通过电阻可忽略的导线连接，现将一质量为m的小条形磁铁沿该螺线管的中轴线从紧靠螺线管上方的A点由静止释放，一段时间后小磁铁匀速下落。若条形磁铁沿螺线管轴线下落的过程中始终沿竖直方向且不发生
2
翻转，螺线管的总电阻为R，小磁铁匀速下落的速度大小为v，取g＝10 m/s，则（ ）
A．若小磁铁的磁性增强，则其最终在螺线管中匀速下落的速度大于v B．若小磁铁的磁性增强，则其最终在螺线管中匀速下落的速度小于v C．当小磁铁以速度v匀速下落时，螺线管中产生的感应电动势大小为mgRv mg R题四：竖直放置的平行金属导轨上端连接一电阻R，质量为m的金属棒与导轨接触良好，并能无摩擦下滑。在金属棒的下方有一垂直于纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，磁场上边界距金属棒的高度为H，如图所示。把金属棒由静止释放，金属棒在磁场中的运动情况如何？（金属棒与导轨的电阻不计，两平行导轨的间距为L）
D．当小磁铁以速度v匀速下落时，螺线管中产生的感应电流大小为v
题五：如图所示，在水平地面上有一木板A，木板A长L＝6 m，质量M＝8 kg。在水平地面上向右做直线运动，某时刻木板A速度v0＝6 m/s，在此时刻对木板A施加一个方向水平向左的恒力F＝32 N，与此同时，将一个质量m＝2 kg的小物块B轻放在木板A上的P点（小物块可视为质点，放在P点时相对于地面的速度为零），P点到木板A右端的距离为1 m，木板A与地面间的动摩擦因数为μ＝0.16，A、B间光滑，不存在相互作用的摩擦力，不计空气阻力，取g2
＝10 m/s。
（1）小物块B从轻放到木板A上开始，经多长时间木板A与小物块B速度相同？
（2）小物块B从轻放到木板A上至离开木板A的过程中，求恒力F对木板A所做的功及小物块B离开木板A时木板A的速度。
题六：如图所示，质量为M且足够长的小车沿光滑水平面以速度v向左匀速运动，质量为m的小木块也以速度v从左端冲上车面，小木块与小车间的动摩擦因数一定，由于摩擦力的作用，小车的速度将发生变化，为使小车继续以速度v匀速运动，需及时给小车施加一水平力，当小车与小木块的速度相等时，撤去水平力。求：
（1）从开始到小木块速度减为零的过程中，小木块和小车的位移之比； （2）从开始到撤去水平力的过程中，水平力对小车做的功WF。
题七：如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”。工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯在自身重力的作用下，落回深坑，夯实坑底。然后，两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作。已知两个滚轮边缘线速度v恒为4 m/s，每个滚轮对夯杆的正压力FN为
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2×10 N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数为0.3，夯杆质量m为1×10 kg，坑深h为6 m。假定
2
在打夯的过程中坑的深度变化不大，且夯杆底端升到坑口时，速度正好为零，取g＝10 m/s，求：
（1）每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功；
（2）夯杆在上升过程中，被滚轮释放时夯杆底端距坑底的高度； （3）打夯周期。
题八：如图为某生产流水线工作原理示意图。足够长的工作平台上有一小孔A，一定长度的操作板（厚度可忽略不计）静止于小孔的左侧，从某时刻开始，将零件（可视为质点）无初速度地放在操作板的中点处，同时操作板在电动机的带动下向右做匀加速直线运动，直至运动到A孔的右侧（忽略小孔对操作板运动的影响），最终零件运动到A孔时速度恰好为零，并
由A孔下落进入下一道工序。已知零件与操作板间的动摩擦因数μ1＝0.05，零件与工作台间
2
的动摩擦因数μ2＝0.025，不计操作板与工作台间的摩擦。重力加速度g＝10 m/s。
（1）求操作板做匀加速直线运动的加速度大小；
（2）若操作板长为2 m，质量M＝3 kg，零件的质量为0.5 kg，则操作板从A孔左侧完全运动到右侧的过程中，电动机至少做多少功？
题九：如图甲所示，劲度系数为k 的轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个物体A、B，B的质量为m。初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力作用在物体A上，使物体A开始向上做匀加速直线运动，测得两个物体的υ－t图象如图乙所示，图中υ1、υ2、t1、t2已知，重力加速度为g，求t1至t2时间内，弹簧的弹性势能减少了多少？
题十：如图所示，用轻弹簧将质量均为m＝1 kg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高度h1＝0.15 m。同时释放两物块，设A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，A刚好能离开地面（但不继续上升）。已知弹簧的劲度
2
系数k＝100 N/m，取g＝10 m/s。
（1）求物块A刚到达地面时的速度大小；
（2）求物块B反弹到最高点时弹簧的弹性势能；
（3）若将物块B换为质量为2m的物块C（图中未画出），仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面，求此时h2的大小。
功能互考
题一：C
详解：在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以
v212
有FN－mg＝m，FN＝2mg，联立解得v＝gR。在下滑过程中，根据动能定理可得mgR－W＝mv，
R211
解得W＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，C正确。
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题二：A
详解：小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为零；小球在最低点，对下管壁的压
v2
力为6mg，则有6mg－mg＝m。
R在此过程中重力、摩擦力做负功，根据动能定理可得
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－2mgR－Wf ＝0－ mv，
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联立解得Wf ＝mgR，故A正确。
2
题三：BC
解析：小磁铁的磁性增强后，假设小磁铁最终匀速下落的速度为v，则螺线管内的磁通量的变化率增大，产生的感应电流增大。由楞次定律可知，小磁铁受到的阻力大于重力，假设不成立，因此小磁铁的磁性增强后，最后匀速运动的速度小于v，选项A错误、B正确。当小磁铁以速度v匀速下落时，设在时间Δt内小磁铁下落的高度为h，由能量守恒定律可知mgh＝
hEE，Δt＝，以上各式联立可得E＝mgRv，选项C正确。由I＝可知感
vRRmgv应电流I＝，选项D错误。
RI2RΔt，而I＝
题四：见解析
详解：金属棒从静止释放后先做自由落体运动，下落H时的速度为v＝2gH。
B2L2v0mgR如果刚进入磁场时安培力与重力平衡，即mg＝BIL＝，解得v0＝22。
RBL所以金属棒进入磁场的运动情况有三种可能：
m2gR2（1）当v＝v0，即H＝44时，金属棒进入磁场后以速度v0做匀速运动；
2BL2mgR2（2）当v 2B4L4度为零，此后以速度v0做匀速运动； m2gR2（3）当v>v0，即H>时，金属棒进入磁场后先做减速运动，当速度减小到v0时，加速 2B4L4度为零，此后以速度v0做匀速运动。 题五：（1）1 s （2）32 J；4 m/s 详解：（1）由于小物块B与木板A间不存在摩擦力，小物块B离开木板A前始终相对地面静止。木板A在恒力和摩擦力的共同作用下，先向右做匀减速运动后向左做匀加速运动，当木板A向右速度减为零时两者同速。 设木板A做匀减速运动的时间为t1，加速度为a1，由牛顿第二定律得 F＋μ（M＋m）g＝Ma1，解得a1＝6 m/s2， v0木板A做匀减速运动的时间t1＝＝1 s。 a12v0（2）木板A做匀减速运动的位移x1＝＝3 m 2a1板A上。 小物块B离开木板A时，木板A向左做匀加速运动的位移x2＝x1＋1 m＝4m。 小物块B从轻放到木板A上至离开木板A的过程中， 恒力F对木板A所做的功W＝－Fx1＋Fx2＝32 J 。 对于木板A向左做匀加速运动的过程，设加速度为a2，由牛顿第二定律得 F－μ（M＋m）g＝Ma2，解得a2＝2 m/s2， 此时木板A速度v＝2a2x2＝4 m/s。 12 （2）2mv 2详解：（1）小木块在时间t内做匀减速运动，初速度为v，末速度为0。 v＋0根据运动学规律，小木块的位移大小s1＝t， 2小车在时间t内做匀速运动的位移大小s2＝vt， s1则小木块和小车的位移之比1＝。 s22（2）最终小木块与小车的速度相等，说明二者的速度大小均未发生变化，则力F做的功等于系统产生的内能，即WF＝Q＝μmgs相对。 木块做初速度为v、加速度为－μg、末速度为－v的运动，整个过程对地位移为零，所用时 2v22v2 间t＝，故s相对＝s车＝vt＝，则WF＝μmgs相对＝2mv。 ?g?g4 题七：（1）6×10 J （2）5.2 m （3）3.8 s 详解：（1）因为夯杆底端升到坑口时，速度正好为零，所以每个打夯周期中，电动机对夯 4 杆所做的功W＝mgh＝6×10 J。 （2）由题意可知，夯杆先做匀加速运动，然后做匀速运动，再做竖直上抛运动。 v2夯杆以v＝4 m/s的初速度竖直上抛，上升高度为h3＝＝0.8 m， 2g此时夯杆底端距坑底的高度Δh＝h－h3＝5.2 m。 （3） 对夯杆做匀加速运动的过程进行分析。 Ff1?mg42 以夯杆为研究对象，Ff1＝2μFN＝1.2×10 N，a1＝＝2 m/s， m题六：（1） 当夯杆与滚轮相对静止时，v＝a1t1＝4 m/s，解得t1＝2 s，h1＝a1t12＝4 m。 夯杆匀速上升的高度h2＝h－h1－h3＝1.2 m。 12h2＝0.3 s， vv夯杆做竖直上抛运动的时间t3＝＝0.4 s， g夯杆匀速上升的时间t2＝ 2h＝1.1 s， g故打夯周期T＝t1＋t2＋t3＋t4＝3.8 s。 夯杆做自由落体运动的时间t4＝37 J 3详解：（1）设零件向右运动距离为x 时与操作板分离，此过程经历的时间为t，此后零件在工作台上做匀减速运动直至运动到A孔处速度减为零。设零件质量为m，操作板长为L，取水平向右为正方向。 题八：（1）2 m/s（2） 2 0?(a1t)L12 对零件：分离前有μ1mg＝ma1，x＝a1t，分离后有－μ2mg＝ma2，－ x＝；对 22a22(2?1?2＋?12)gL122 操作板：＋x＝at。联立以上各式解得a＝＝2 m/s。 2?22（2）将a＝2 m/s，L＝2 m代入 2 2L1122 ＋a1t＝at，解得t＝222L2＝s，操作板从A孔a－a132 左侧完全运动到右侧的过程中，动能的增加量ΔEk1＝M（2aL）＝12 J；零件在时间t1J，零件在时间t内与操作板摩擦产生的内能Q1＝12L37μ1mg＝0.25 J。根据能量守恒定律，电动机做的功至少为W＝Ek1＋Ek2＋Q1＝J。 32m2gv11122题九：mv2－mv1＋ 22kt112内动能的增加量ΔEk2＝m（μ1gt）＝ 122 详解：A和B一起做匀加速直线运动的加速度a＝ v1。 t1t1时刻，A和B刚分离，对B有F1－mg ＝ma， t2时刻，B速度达到最大，有F2＝mg， 根据胡克定律，有F1＝kx1，F2＝kx2。 t1至t2时间内，对B，根据动能定理有 11mv22－mv12＝－ mg（x1－ x2）＋W， 22m2gv11122解得W＝mv2－mv1＋。 22kt12由功能关系可知，弹簧做的功等于弹簧弹性势能的改变量，即弹簧的弹性势能减少了mv212m2gv112－mv1＋。 2kt1题十：（1）1.73 m/s （2）0.5 J （3）0.125 m 详解：（1）依题意，A、B两物块一起做自由落体运动，设A物块落到地面时速度为v1，此时 B的速度也为v1，则有v1＝2gh1＝3m/s≈1.73 m/s 。 （2）设A刚好离地时，弹簧的形变量为x，此时B物块到达最高点，对A物块，有 mg＝kx。 从A落到地面到A刚好离开地面的过程中，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒， 有mv12＝mgx＋ΔEp，解得ΔEp＝0.5 J。 （3）将B换成C后，设A落地时C的速度为v2，则有v2＝2gh2。 2从A落到地面到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，则有×2mv21212＝2mgx＋ΔEp，解得h2＝0.125 m。
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