第二编 函数
§2.1 函数及其表示
一、填空题
－x2－3x＋4
1．函数y＝的定义域为________________．
x
1
2．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是________．
x1
①f(x)＝ln x ②f(x)＝ ③f(x)＝|x| ④f(x)＝ex
x??log2x， x>0，1
3．已知函数f(x)＝?x若f(a)＝，则a＝________.
2?2， x≤0.?
4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)＝________.
2
?1－x?＝1－x，则f(x)的解析式为__________．
5．已知f
?1＋x?1＋x26．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝__________．
1?
7．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ??3?＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝____________.
8．如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x=t (0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象(如下图所示)大致是_________(填序号)．
9．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰
*
好通过n(n∈N)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数：
1
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝()x；④φ(x)＝ln x，其中是一阶整点函数的是_______．
3
二、解答题
10． (1)已知f(x)的定义域是[0,4]，求
2
①f(x)的定义域；②f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．
(2)已知f(x2)的定义域为[0,4]，求f(x)的定义域．
22
11．已知f(x)＝x－2x＋1，g(x)是一次函数，且f[g(x)]＝4x，求g(x)的解析式．
§2.2 函数的单调性及最大（小）值
一、填空题
1．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是________．
2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝??f(x)， f(x)≤K，1－|x|?取函数f(x)＝2，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为_
2?K， f(x)>K.?
_________________．
1
3．已知f(x)是R上的减函数，则满足f()>f(1)的x的取值范围为__________________．
x
3
4．若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a2－a＋1)与f()的大小关系是________________．
4
a2
5．若f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是__________．
x＋1
6．关于下列命题：
①若函数y＝2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
11
②若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是{y|y≤}；
x22
③若函数y＝x的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|－2≤x≤2}；
④若函数y＝log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0 2 8．若函数f(x)＝(m－1)x＋mx＋3 (x∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是________________． 25 9．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是__________． 4 二、解答题 10．已知f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，试解不等式f(x)＋f(x－8)≤2. x 11．已知f(x)＝ (x≠a)． x－a (1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． 12．函数f(x)对任意的实数m、n有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)，且当x>0时有f(x)>0. (1)求证：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； 2 (2)若f(1)＝1，解不等式f[log2(x－x－2)]<2. §2.3 函数的奇偶性 一、填空题 1．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 008)＋f(2 009)的值为____． 2．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)的表达式为____________． 3．已知函数f(x)＝g(x)＋2，x∈[－3,3]，且g(x)满足g(－x)＝－g(x)，若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M＋N＝________. 4． f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)＝____________. 5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是______(填序号)． ①y＝f(|x|); ②y＝f(－x)；③y＝x·f(x)；④y＝f(x)＋x. 1 6．若f(x)＝x＋a是奇函数，则a＝________________. 2－1 2x 7．定义两种运算：ab＝a2－b2，a?b＝(a－b)2，则函数f(x)＝的奇偶性为_______． (x?2)－2 8．已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1) ?5??的值是________． ＝(1＋x)f(x)，则f?f??2?? 9．函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上单调递增，则f(－1)，f(0)，f(2)的大小关系是________． 二、解答题 10．已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)恒成立． (1)求证：f(x)是周期函数； (2)已知f(3)＝2，求f(2 004)． 11．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R. (1)试判断f(x)的奇偶性； 11 (2)若－≤a≤，求f(x)的最小值． 22 12．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0. (1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论． §2.4 指数与指数函数 一、填空题 1．若0 5－1 2．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________． 2 3．函数y＝2－|x|的单调增区间是______________． x??2， x<0， 4．设函数f(x)＝?若f(x)是奇函数，则g(2)＝________. ?g(x)， x>0? 5．若函数y＝4x－3·2x＋3的定义域为集合A，值域为[1,7]，集合B＝(－∞，0]∪[1,2]，则集 合A与集合B的关系为________． 6．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是______． a 7．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是_______． 2 8．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(bx)________f(cx)．(用“≤”，“≥”，“>”，“<”填空) 9．设函数f(x)＝|2x－1|的定义域和值域都是[a，b](b>a)，则a＋b＝________. 二、解答题 10．要使函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y>0恒成立，求a的取值范围． x 11．设f(x)＝a＋b同时满足条件f(0)＝2和对任意x∈R都有f(x＋1)＝2f(x)－1成立． (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)的定义域为[－2,2]，且在定义域内g(x)＝f(x)，且函数h(x)的图象与g(x)的图 象关于直线y＝x对称，求h(x)； (3)求函数y＝g(x)＋h(x)的值域． 1x2 12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f(x)＝()，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f(x)－2af(x)＋3的最 3 小值为h(a)． (1)求h(a)； (2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件： ①m>n>3； ②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
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