(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列(二)

?2?所以9?xn????3?n?1?9?x1?.

n?1?2?又x1?1，故xn?9?8????3?

.

3313.1.证明QSn?2an?2n,?Sn?1?2an?1?2n?（1n?2）, ………2分 作差得a3n?2an?1?2n(n?2),变形得a11n-2n?（2an?1?2n）(n?2) ?{a1n?2n}为首项为1，公比为2等比数列 ………4分 ?an-11n?2+2n，n?N* ………6分 2Qa1*n?2n-1+2n，n?N代入S3n?2an?2n,得Sn1n?2?2n, ………8分 QSn-Sn-1?2n?12n-（2n?1?12n?1）=2n?1+12n?0,12n?{Sn}为递增数列，令bn=S=2n

n2?1b2n2nQn=22n?1=（2n-1）（2n+1） ………10分 ?b?2n2n-111n（2n-1）（2n?2）（?2n-1）（2n-1?1）?2n-1-1?2n-1(n?2) 当n?1时，T224141=b1=3，当n?2时，T2=b1+b2=3+15=15当n?3时，T241111n=b1+b2+L+bn?3+15+3?7+7-15+L，………13分

=1911915-2n?1?1519QTm38S?15??1,?存在?min=1?存在正整数?=1n345，2m,n?N*,不等式Tm-?Sn?0恒成立 ………15分

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对任意

14.（Ⅰ）证明：①当n?1时显然成立；

?②假设当n?k(k?N)时不等式成立，即0?ak?1，

那么当n?k?1时，

11111?(ak?)?g2akg?1，所以0?ak?1?1， ak?12ak2ak即n?k?1时不等式也成立.

?综合①②可知，0?an?1对任意n?N成立.--------------------------------5分

（Ⅱ）

an?12?2?1，即an?1?an，所以数列?an?为递增数列。------------7分 anan?1又

?1?1111111???(an?)?(?an)，易知??an?为递减数列， anan?1an2an2an?an??11?所以???也为递减数列，

aan?1??n所以当n?2时，

11111549??(?a2)?(?)?-------------------10分 anan?12a224540119(an?an?1)2)?(an?1?an)------12分 所以当n?2时，bn??(an?1?an)(?anan?140anan?1当n?1时，Tn?T1?b1?93?，成立； 401099?[(a3?a2)?(a4?a3)?L?(an?1?an)] 4040当n?2时，Tn?b1?b2?L?bn?

?9999994273?(an?1?a2)??(1?a2)??(1?)?? 4040404040405100103-----------------------------------------------------------------15分10

综上，对任意正整数n，Tn?

15.（1）当n?2时，2S2?3a2?1，解得a2?2； 当n?3时，2Sn?(n?1)an?1，2Sn?1?nan?1?1， 以上两式相减，得2an?(n?1)an?nan?1，∴∴an?ann?， an?1n?1anan?1a3nn?13?…?a2??…?2?n， an?1an?2a2n?1n?22 17

?3?,n?1,∴an??2

??n,n?2.?4,n?1,?125?（2）bn? ??12(an?1)?,n?2,2??(n?1)当n?1时，T1?b1?当n?2时，bn?∴Tn?∴Tn?433?； 25501111???，

(n?1)2n(n?1)nn?1411111133133?(?)?(?)?…?(?)???， 252334nn?150n?15033（n?N*）． 50

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