故?6?g(x)?0，即x?6?f(x)?x. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当a??3时，M(a)?F(0)?|g(0)?a|??a?3； 当a??3时，M(a)?F(?2)?|g(?2)?a|?6?a?3； 当a??3时，M(a)?3. 综上，当M(a)最小时，a??3.
【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．【2019年高考天津理数】设函数f(x)?excosx,（Ⅰ）求f?x?的单调区间；
（Ⅱ）当x??,?时，证明f(x)?g(x)??x??0；
422（Ⅲ）设xn为函数u(x)?f(x)?1在区间?2n??g(x)为f?x?的导函数．
????????????????,2n???内的零点，其中n?N，证明42??e?2n?2n???xn?．
2sinx0?cosx03ππ??【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递增区间为?2kπ?,2kπ??(k?Z),f(x)的单调递减区间为
44??π5π??2kπ?,2kπ?(k?Z).（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. ??44??【解析】（Ⅰ）由已知，有f'(x)?ex(cosx?sinx)．因此，当x??2k??有sinx?cosx，得f'(x)?0，则f?x?单调递减；当x??2k?????5??,2k???(k?Z)时，44???3???,2k???(k?Z)时，有44?sinx?cosx，得f'(x)?0，则f?x?单调递增．
所以，f?x?的单调递增区间为?2k????3???,2k???(k?Z),f(x)的单调递减区间为44??5???2k??,2k??(k?Z)． ??44??（Ⅱ）证明：记h(x)?f(x)?g(x)?????x?．依题意及（Ⅰ），有g(x)?ex(cosx?sinx)，从而?2?????g'(x)??2exsinx．当x??,?时，g'(x)?0，故
?42???????h'(x)?f'(x)?g'(x)??x??g(x)(?1)?g'(x)??x??0．
?2??2?因此，h?x?在区间?,??????????上单调递减，进而h(x)?h?f?????0． ??42??2??2?所以，当x??,?时，f(x)?g(x)??x??0．
422（Ⅲ）证明：依题意，u?xn??f?xn??1?0，即exncosxn?1．记yn?xn?2n?，则yn??且f?yn??encosyn?eyxn?2n????????????????,?，?42?cos?xn?2n???e?2n??n?N?．
由f?yn??e?2n?????1?f?y0?及（Ⅰ），得yn?y0．由（Ⅱ）知，当x???,?时，g'(x)?0，所
?42????以g?x?在?,?上为减函数，因此g?yn??g?y0??g???0．又由（Ⅱ）知，
?42??4????????f?yn??g?yn???yn??0，故
?2?f?yn??e?2n?e?2n?e?2n?e?2n??yn??????y0?． 2g?yn?g?yn?g?y0?e?siny0?cosy0?sinx0?cosx0?e?2n?所以，2n???xn?．
2sinx0?cosx0【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?（1）当a??x?1,x?0.
3时，求函数f(x)的单调区间； 41x（2）对任意x?[2,??)均有f(x)?, 求a的取值范围．
e2a注：e=2.71828…为自然对数的底数．
?2?【答案】（1）f?x?的单调递增区间是?3,???,单调递减区间是?0,3?；（2）??0,4?.
??【解析】（1）当a??33时，f(x)??lnx?1?x,x?0． 44f'(x)??31(1?x?2)(21?x?1)??， 4x21?x4x1?x所以，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+?）．
（2）由f(1)?12，得0?a?． 2a4当0?a?令t?2xx21?x时，f(x)?等价于2??2lnx?0． 42aaa1，则t?22． a设g(t)?t2x?2t1?x?2lnx,t?22， 则g(t)?11?xx(t?1?)2??2lnx．
xx?1?7??（i）当x??,??? 时，1?1?22，则 xg(t)?g(22)?8x?421?x?2lnx．
记p(x)?4x?221?x?lnx,x?1，则 7p'(x)??2212xx?1?2x?x?1???xx?1xxx?1
(x?1)[1?x(2x?2?1)]. xx?1(x?1)(x?1?2x)故
x 1 7 1(,1) 71 (1,??) p'(x) ? 0 + p(x) 所以，p(x)?p(1)?0． 1p() 7单调递减 极小值p(1) 单调递增 因此，g(t)?g(22)?2p(x)?0． （ii）当x???1??2xlnx?(x?1)?11?时，． g(t)g?1???,?2??x?2x?e7??令q(x)?2xlnx?(x?1),x??lnx?2?11?q'(x)??1?0， ，则,2?e7x??故q(x)在??11??1?上单调递增，所以,q(x)q??． 2??e7??7?由（i）得，q?27?1?27?1???p??p(1)?0． ???77?7??7?所以，q(x)<0． 因此g(t)g?1????1?q(x)???0． ??x?2x?1?,???，t?[22,??),g(t)0， 2?e?由（i）（ii）知对任意x??即对任意x???1?,???，均有f(x)2?e?x． 2a综上所述，所求a的取值范围是?0,???2??． 4?【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
14．【2019年高考江苏】设函数f(x)?(x?a)(x?b)(x?c),a,b,c?R、f'(x)为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{?3,1,3}中，求f（x）的极小值； （3）若a?0,0?b1,c?1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤【答案】（1）a?2；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）因为a?b?c，所以f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)3． 因为f(4)?8，所以(4?a)3?8，解得a?2． （2）因为b?c，
所以f(x)?(x?a)(x?b)2?x3?(a?2b)x2?b(2a?b)x?ab2， 从而f'(x)?3(x?b)?x?因为a,b,所以
4． 27??2a?b2a?b?x?b．令，得或． x?f'(x)?0?33?2a?b都在集合{?3,1,3}中，且a?b， 32a?b?1,a?3,b??3． 3
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