2019年高考题和高考模拟题理科数学分项版汇编专题专题03 导数及其应用 解析版

?′(??) ? 0 + 0 ? ?(??) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以?(??)在(?∞,?1)，(1,+∞)上单调递减，在(?1,1)上单调递增. 所以?(??)有极小值?(?1)=?2，极大值?(1)=2. （2）由??(??)=??e???+3=0，得??=

??

2

??2?3e??

.

??2?3e??所以“??(??)在区间[?2?,?4]上有两个零点”等价于“直线??=??与曲线??(??)=个公共点”. 对函数??(??)求导，得??′(??)=

???2+2??+3

e??，??∈[?2?,?4]有且只有两

.

由??′(??)=0，解得??1=?1，??2=3. 当x变化时，??′(??)与??(??)的变化情况如下表所示：

?? ??′(??) (?2,?1) ?1 (?1,3) 3 (3,4) ? ↘ 0 极小值 + ↗ 0 极大值 ? ↘ ??(??) 所以??(??)在(?2,?1)，(3,4)上单调递减，在(?1,3)上单调递增. 又因为??(?2)=e2，??(?1)=?2e，??(3)=所以当?2e

13e413e46e

6e3

??2?3e??13e4

>??(?1)，

或??=3时，直线??=??与曲线??(??)=

6

，??∈[?2?,?4]有且只有两个公共点.

或??=e3时，函数??(??)在区间[?2?,?4]上有两个零点.

【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.