（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD， ∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=DE，
∵E是AD的中点， ∴AD=2CD， ∵AD=BC， ∴BC=2CD．
5．（2018?南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G． （1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．
（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠CDF+∠ADF=90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD=90°， ∴∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°， ∵∠FGA+∠DGF=180°， ∴∠FGA=∠FCD， ∴△AFG∽△DFC．
（2）解：如图，连接CG．
∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF， ∴△EDA∽△ADF， ∴
=
，即
=
，
∵△AFG∽△DFC， ∴∴
==
， ，
在正方形ABCD中，DA=DC， ∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3， ∴CG=
∵∠CDG=90°， ∴CG是⊙O的直径， ∴⊙O的半径为．
=5，
6．（2018?无锡）如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若
=
﹣1，求的值．
解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA1=n=1，
在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2， ∴BA1=2HA1， ∴∠ABA1=30°， ∴旋转角为30°， ∵BD=
=
，
=
π．
∴D到点D1所经过路径的长度=（2）∵△BCE∽△BA2D2， ∴
=
=，
∴CE=∵∴
==
﹣1 ， ?
，
=
?
，
∴AC=
∴BH=AC=
∴m2﹣n2=6?
，
∴m4﹣m2n2=6n4， 1﹣∴=
7．（2018?泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3
，DF=3，求图中阴影部分的面积．
=6?
，
（负根已经舍弃）．
解：（1）DE与⊙O相切， 理由：连接DO， ∵DO=BO， ∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠EBD=∠DBO， ∴∠EBD=∠BDO， ∴DO∥BE， ∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°， ∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE=DF=3， ∵BE=3∴BD=
，
=6，
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