（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD， ∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°， ∴A、B、F共线， ∴∠A+∠ACF=90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F， ∴△FCB∽△FAC， ∴CF2=FB?FA，设FB=x， 则有：x（x+7）=122， ∴x=9或﹣16（舍弃）， ∴AF=7+9=16， 在Rt△ACF中，AC=
11．（2018?盐城）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD． （1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC?AE．求证：BE为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长．
=
=20．
解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠C=90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD， ∴△ABC≌△ABD， ∴∠ADB=∠C=90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上； （2）∵△ABC≌△ABD， ∴AC=AD， ∵AB2=AC?AE， ∴AB2=AD?AE，即∵∠BAD=∠EAB， ∴△ABD∽△AEB， ∴∠ABE=∠ADB=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴BE是⊙O的切线；
（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°， ∴AB=∵∴
==，
，
=
=2
，
=
，
解得：DE=1， ∴BE=
=
，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC， 又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°， ∴∠DBE=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAC， 又∠BAC=∠BAD， ∴∠FBE=∠BAD， ∴△FBE∽△FAB， ∴
=
，即
=
=，
∴FB=2FE，
在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2， ∴（5+EF）2=42+（2+2EF）2， 整理，得：3EF2﹣2EF﹣5=0， 解得：EF=﹣1（舍）或EF=， ∴EF=．
12．（2018?扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
（1）证明：作OH⊥AC于H，如图， ∵AB=AC，AO⊥BC于点O， ∴AO平分∠BAC， ∵OE⊥AB，OH⊥AC， ∴OH=OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO=2OF=3， 而OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°， ∴AE=
OE=3
，
﹣
=
；
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图， ∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP最小， ∵OF′=OF=OE， ∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°， ∴∠F′=30°， ∴∠F′=∠EAF′， ∴EF′=EA=3
，
， OF′=OA=
， ×6=2
，
即PE+PF最小值为3在Rt△OPF′中，OP=在Rt△ABO中，OB=∴BP=2
﹣
=
，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为．
13．（2018?南京）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答．
相关推荐：
loading