中考数学压轴题汇编：几何综合（附解析）

题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4， 求△ABC的面积．

解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2． 整理，得x2+7x=12． 所以S△ABC=AC?BC =（x+3）（x+4） =（x2+7x+12） =×（12+12） =12．

小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索．

已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n． 可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？

（2）若AC?BC=2mn，求证∠C=90°． 改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．

解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x， 根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x， （1）如图1，

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2， 整理，得：x2+（m+n）x=mn， 所以S△ABC=AC?BC =（x+m）（x+n） = [x2+（m+n）x+mn] =（mn+mn） =mn，

（2）由AC?BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn， 整理，得：x2+（m+n）x=mn， ∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2 =2[x2+（m+n）x]+m2+n2 =2mn+m2+n2 =（m+n）2 =AB2，

根据勾股定理逆定理可得∠C=90°； （3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，

在Rt△ACG中，AG=AC?sin60°=（x+m），CG=AC?cos60°=（x+m），

∴BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），

在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[整理，得：x2+（m+n）x=3mn， ∴S△ABC=BC?AG =×（x+n）?===

（x+m）

（x+m）]2+[（x+n）﹣（x+m）]2=（m+n）2，

[x2+（m+n）x+mn] ×（3mn+mn） mn．

14．（2018?盐城）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F． （1）若AB=6，AE=4，BD=2，则CF= 4 ； （2）求证：△EBD∽△DCF．

【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为 1﹣cosα （用含α的表达式表示）．

（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°． ∵AE=4， ∴BE=2，

则BE=BD，

∴△BDE是等边三角形， ∴∠BED=60°， 又∵∠EDF=60°，

∴∠CDF=180°﹣∠EDF﹣∠B=60°， 则∠CDF=∠C=60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CF=CD=BC=BD=6﹣2=4． 故答案是：4； （2）证明：如图①，

∵∠EDF=60°，∠B=60°，

∴∠CDF+BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°， ∴∠BED=∠CDF． 又∠B=∠C=60°， ∴△EBD∽△DCF；

【思考】存在，如图②，

过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N， ∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE． ∴DM=DG=DN．