又∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°， ∴△BDM≌△CDN，
∴BD=CD，即点D是BC的中点， ∴
=；
【探索】如图③，
连接AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别是G、D、H． 则∠BGO=∠CHO=90°， ∵AB=AC，O是BC的中点， ∴∠B=∠C，OB=OC， ∴△OBG≌△OCH，
∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°﹣α， 则∠GOH=180°﹣（∠BOG+∠COH）=2α， ∴∠EOF=∠B=α 则∠GOH=2∠EOF=2α．
由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=GE+FH（可通过半角旋转证明）， 则C△AEFAE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG， 设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α．
=
=
=
=1﹣cosα．
故答案是：1﹣cosα．
15．（2018?扬州）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值． 方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中． 问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 2 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值； 思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
解：（1）如图1中，
∵EC∥MN， ∴∠CPN=∠DNM， ∴tan∠CPN=tan∠DNM， ∵∠DMN=90°， ∴tan∠CPN=tan∠DNM=故答案为2．
=
=2，
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN， ∴∠CPN=∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形， ∴∠DCM=∠D=45°， ∴cos∠CPN=cos∠DCM=
．
（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．
∵PC∥MN， ∴∠CPN=∠ANM， ∵AM=MN，∠AMN=90°， ∴∠ANM=∠MAN=45°， ∴∠CPN=45°．
16．（2018?泰州）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②） （1）根据以上操作和发现，求（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；
的值；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）
解：（1）由图①，可得∠BCE=∠BCD=45°， 又∵∠B=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形， ∴
=cos45°=
，即CE=
BC，
由图②，可得CE=CD，而AD=BC， ∴CD=∴
=
AD， ；
（2）①设AD=BC=a，则AB=CD=∴AE=（
﹣1）a，
a，BE=a，
如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°， ∵∠BEC=45°，∠A=90°， ∴∠AEH=45°=∠AHE， ∴AH=AE=（
﹣1）a，
a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，
设AP=x，则BP=
∴AH2+AP2=BP2+BC2， 即[（
﹣1）a]2+x2=（
a﹣x）2+a2，
解得x=a，即AP=BC， 又∵PH=CP，∠A=∠B=90°， ∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），
相关推荐：
loading