课下作业（二）命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的( ) A．逆否命题 C．否命题
B．逆命题 D．原命题
解析：选A.由四种命题的逆否关系知，s是p的逆否命题．
2．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，MN，所以若“a∈M”推不出
“a∈N”；若“a∈N”，则“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．
3．(2020年天津卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：选B.否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
1x4．已知集合A＝{x∈R|＜2 ＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充
2分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 C．m＞2
B．m≤2 D．－2＜m＜2
1x解析：选C.A＝{x∈R|＜2＜8}＝{x|－1＜x＜3}
2∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A ∴AB
∴m＋1＞3，即m＞2.
5．(理)(2020年辽宁卷)已知a＞0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是( ) 1212
A．?x∈R，ax－bx≥ax0－bx0
221212
B．?x∈R，ax－bx≤ax0－bx0
221212
C．?x∈R，ax－bx≥ax0－bx0
22
1212
D．?x∈R，ax－bx≤ax0－bx0
22
12
解析：选C.设函数f(x)＝ax－bx，∴f′(x)＝ax－b，由已知可得f′(x0)＝ax0－b2＝0，又因为a＞0，所以可知x0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点．由最小值定义可知选项C正确．
二、填空题
6．(理)(2020年安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________________________________________________________________________．
答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3.
7．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.
解析：由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.
答案：－1
8．(2020年金榜预测)给出下列四个结论：
①命题“?x∈R，x－x＞0”的否定是“?x∈R，x－x≤0”； ②“若am＜bm，则a＜b”的逆命题为真； ③函数f(x)＝x－sin x(x∈R)有3个零点；
④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时，f′(x)＞g′(x)．
其中正确结论的序号是__________．(填写所有正确结论的序号)
解析：①显然正确；“若am＜bm，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am＜bm”，当m＝0时，am＝bm，∴②不正确；由y＝x与y＝sin x的图象可知．函数f(x)＝x－sin x(x∈R)有1个零点，∴③不正确；对于④，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，∴x＜0时，f′(x)＞0，g′(x)＜0，
∴f′(x)＞g′(x)，∴④正确． 答案：①④ 三、解答题
9．判断命题“若m＞0，则x＋x－m＝0”有实数根的逆否命题的真假． 解：解法一 ∵m＞0，∴4m＞0，
∴方程x＋x－m＝0的判别式Δ＝4m＋1＞0， 因而方程x＋x－m＝0有实数根．
∴原命题“若m＞0，则x＋x－m＝0有实数根”为真．
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m＞0，则x＋x－m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
解法二 原命题“若m＞0，则x＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为“若x＋x－m＝0无实数根，则m≤0”．
∵x＋x－m＝0无实数根， ∴Δ＝4m＋1＜0， 1
∴m＜－≤0.
4
∴若x＋x－m＝0无实数根，则m≤0为真． 解法三 p：m＞0，q：x＋x－m＝0有实数根， ∴q：A＝{m∈R|方程x＋x－m＝0有实数根} 1
＝{m∈R|m≥－}．
4以下同法一
解法四 p：m＞0，q：x＋x－m＝0有实根， 綈p：m≤0，綈q：x＋x－m＝0无实数根， ∴綈p：A＝{m∈R|m≤0}，
綈q：B＝{m∈R|方程x＋x－m＝0无实数根} 1
＝{m∈R|m＜－}．
4
∵B?A，∴“若綈p，则綈q”为真．
2
即“若方程x＋x－m＝0无实根，则m≤0”为真．
10．设α，β是方程x－ax＋b＝0的两个根，试分析a＞2且b＞1是两根α、β均大于1的什么条件？
解：令p：a＞2且b＞1；q：α＞1且β＞1， 易知α＋β＝a，αβ＝b.
??α＋β＞2
①若a＞2且b＞1，即?
?αβ＞1?
222
222
22
2
2
2
，
不能推出α＞1且β＞1. 1??α＋β＝62可举反例：若?
??αβ＝3
，
α＝6??
则?1
β＝?2?
，所以由p推不出q；
②若α＞1且β＞1，则α＋β＞1＋1＝2，αβ＞1. 所以由q可推出p.
综合知p是q的必要不充分条件，
也即a＞2且b＞1是两根α、β均大于1的必要不充分条件．
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