2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）
数学（文科）
第一部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的． （1）【2014年陕西，文1，5分】已知集合M??xx?0,x?R?，N?xx2?1,x?R，则M??N?（ ）
（A）[0,1] （B）(0,1) （C）(0,1] （D）[0,1) 【答案】D
【解析】M?[0,??)，N?(?11)，，?MN?[0,1)，故选D． 【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
（2）【2014年陕西，文2，5分】函数f(x)?cos(2x?)的最小正周期是（ ）
4（A）【答案】B
【解析】根据复合三角函数的周期公式T??? （B）? （C）2? （D）4? 22?得，T?2?2????，故选B． |?|2?【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式T?2??应用，属于基础题．
（3）【2014年陕西，文3，5分】已知复数z?2?i，则z?z的值为（ ）
（A）5 （B）5 （C）3 （D）3 【答案】A
【解析】由z?2?i，得z?z??2?i??2?i??4?i2?5，故选A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题． （4）【2014年陕西，文4，5分】根据右边框图，对大于2的整数N，求出的数列的通项公式是（ ）
（A）an?2n （B）an?2(n?1) （C）an?2n （D）an?2n?1 【答案】C
【解析】a1?2，a2?4，a3?8，?an是a1?2，q?2的等比数列，故选C．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键． （5）【2014年陕西，文5，5分】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧
面积为（ ）
（A）4? （B）3? （C）2? （D）? 【答案】C
【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：
1?2??1?2?，故选C．
【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力． （6）【2014年陕西，文6，5分】从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这两个点的距离小于该
正方形边长的概率为（ ）
1234（A） （B） （C） （D）
5555【答案】B
【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为
1，4条长度为
242，两条长度为2，∴所求概率为?，故选B． 21051
【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键． （7）【2014年陕西，文7，5分】下列函数中，满足“f(x?y)?f(x)f(y)”的单调递增函数是（ ）
1（A）f(x)?x （B）f(x)?3 （C）f(x)?x （D）f(x)?()x
2【答案】B
3【解析】对于A：f(x)?x3，f(y)?y3，f(x?y)??x?y?，不满足f?x?y??f?x?f?y?，故A错；
3x12对于B：f(x)?3x，f(y)?3y，f(x?y)?3x?y，满足f?x?y??f?x?f?y?，且f?x?在R上是单调增函数，故B正确，
对于C：f(x)?x，f(y)?y，f(x?y)??x?y?2，不满足f?x?y??f?x?f?y?，故C错；
12121111对于D：f(x)?()x，f(y)?()y，f(x?y)?()x?y，满足f?x?y??f?x?f?y?，但f?x?在R上是
222单调减函数，故D错．故选B．
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．
a?an?1（8）【2014年陕西，文8，5分】原命题为“若n?an，n?N?，则?an?为递减数列”，关于其逆命题、否
2命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假 【答案】A
a?an?1a?an?1??an?为递减数列，【解析】n命题是真命题；其否命题是：若n?an?an?1?an，n?N?，?an， 22n?N?，则?an?不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题，故选A．
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键． （9）【2014年陕西，文9，5分】某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分
别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A）x，s2?1002 （B）x?100，s2?1002 （C）x，s2 （D）x?100，s2 【答案】D
11【解析】由题意知yi?xi?100，则y??x1?x2??x10?100?10???x1?x2??x10??100?x?100，
101022221?12??? 方差s?x1?100??x?100???x10?100??x?100??x1?x??x10?x??s2，???????10?10?故选D．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练
掌握相应的计算公式．
（10）【2014年陕西，文10，5分】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两
条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则 该函数的解析式为（ ）
1111（A）y?x3?x2?x （B）y?x3?x2?3x
2222111（C）y?x3?x （D）y?x3?x2?2x
442【答案】A
【解析】由函数图象知，此三次函数在?0,0?上处与直线y??x相切，在?2,0?点处与y?3x?6相切，以下研究
??????????四个选项中函数在两点处的切线．
3A选项：y??x2?x?1，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是?1，3，符合题意，故A对；
23B选项，y??x2?x?3，将0代入，此时导数为?3，不为?1，故B错；
22
32x?1，将2代入，此时导数为?1，与点?2,0?处切线斜率为3矛盾，故C错； 43D选项，y??x2?x?2，将0代入，此时导数为?2，与点?0,0?处切线斜率为?1矛盾，故D错，
4故选A．
【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．
C选项，y??第二部分（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）【2014年陕西，文11，5分】抛物线y2?4x的准线方程为______． 【答案】x??1
【解析】∵2p?4，∴p?2，开口向右，∴准线方程是x??1．
【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出否则，极易出现错误．
（12）【2014年陕西卷理科第12，5分】已知4a?2，lgx?a，则x?______． 【答案】10 p的值，再确定开口方向，211，再由lgx?a?，得x?10． 22【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 【解析】由4a?2，得a?log42?（13）【2014年陕西，文13，5分】设0???【答案】
?，b?(1,?cos?)若a?b?0，向量a?(sin2?,cos?)，则nat??_______．
21 2【解析】a?b?sin2??cos2??2sin?cos??cos2??0，0????2【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
x（14）【2014年陕西，文14，5分】已知f(x)?,x?0，若f1(x)?f(x),fn?1(x)?f(fn(x)),n?N?，则f2014(x)1?x的表达式为_______．
x【答案】
1?2014xxxxx【解析】由题意知：f1?x??f?x??，f2?x??f?f1?x???1?x?，f3?x??f?f2?x???1?2x?x，
xx1?2x1?x1?3x1?1?1?x1?2xxx ，故f2014?x??． fn?x??f?fn?1?x????1?nx1?2014x【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征． 考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分．
（15A）【2014年陕西，文15A，5分】（不等式选做题）设a,b,m,n?R,且a2?b2?5,ma?nb?5,则m2?n2的 最
小值为_______． 【答案】5
2【解析】由柯西不等式得，?ma?nb???m2?n2??a2?b2?，∵a2?b2?5，ma?nb?5，∴m2?n2?5， ∴m2?n2的最小值为5．
【点评】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题． （15B）【2014年陕西，文15B，5分】（几何证明选做题）如图，?ABC中，BC?6，以BC为直径的半圆分别
交AB、AC于点E、F，若AC?2AE，则EF?_______．
【答案】3
3
，?2sin??cos??0，∴tan??1． 2【解析】由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴?AEF??C，
AEEF∵?EAF??CAB，∴?AEF∽?ACB，∴，∵BC?6，AC?2AE，∴EF?3． ?ACBC【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
????（15C）【2014年陕西，文15C，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点?2,?到直线?sin(??)?1 ?6?6的距离是_______．
【答案】1
??????【解析】根据极坐标和直角坐标的互化公式x??cos?，y??sin?，可得点?2,?即3,1；直线?sin?????1，
6??6????3?3?213即x?y?1，即x?3y?2?0，故点3,1到直线x?3y?2?0的距离为?1． 221?3【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）【2014年陕西，文16，12分】?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c．
（1）若a,b,c成等差数列，证明sinA?sinC?2sin(A?C)； （2）若a,b,c成等比数列，且c?2a，求cosB的最小值． 解：（1）∵a,b,c成等差数列，∴2b?a?c，利用正弦定理化简得：2sinB?sinA?sinC，
??∵sinB?sin?????A?C????sin?A?C?，∴sinA?sinC?2sinB?2sin?A?C?． （2）∵a,b,c成等比数列，∴b2?ac，将c?2a代入得：b2?2a2，即b?2a，由余弦定理得：
a2?c2?b2a2?4a2?2a23cosB???．
2ac4a24【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． （17）【2014年陕西，文17，12分】四面体ABCD及其三视图如图所
示，平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA 于点E,F,G,H．
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）证明：四边形EFGH是矩形． 解：（1）由题意，BD?DC，BD?AD，AD?DC，BD?DC?2，
112 AD?1，?AD?平面BDC，?四面体ABCD的体积V???2?2?1?．
323（2）BC//平面EFGH，平面EFGH平面BDC?FG，平面EFGH平面ABC=EH，?BC//FG，
BC//EH，?FG//FH．同理EF//AD，HG//AD，?EF//HG，?四边形EFGH是平行四边形， AD?平面BDC，?AD?BC，?EF?HG，?四边形EFGH是矩形．
【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． （18）【2014年陕西，文18，12分】在直角坐标系xoy中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2)．点P(x,y)在?ABC三
边围成的区域（含边界）上，且OP?mAB?nAC?m,n?R?．
2，求OP； 3（2）用x,y表示m?n，并求m?n的最大值．
（1）若m?n?解：（1）∵A(1,1),B(2,3),C(3,2)，AB??1,2?，AC??2,1?，又m?n?∴OP?22?22?22．
（2）∵OP?mAB?nAC，∴?x,y???m?2n,2m?n?，∴x?m?2n，y?2m?n，
∴m?n?y?x，令y?x?t，由图知，当直线y?x?t过点B?2,3?时，t取得最大值1，
故m?n的最大值为1．
【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合
4
222，?OP??1,2???2,1???2,2?， 333
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