1995年全国高中数学联赛试题及详细解析

第二试

2

一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值． 【解析】以y=2x代入曲线方程得x=0，x=8sinθ+cosθ+1

．

2sinθ－cosθ+3

?8sinθ+cosθ+1?5．故只要求|x|的最大值即可．

∴ 所求弦长l=??

?2sinθ－cosθ+3?

由(2x－8)sinθ－(x+1)cosθ=1－3x．?(2x－8)+(x+1)≥(1－3x)，即x+16x－16≤0．

解之得，－8≤x≤2．即|x|≤8(当sinθ=±最大弦长为85．

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，cosθ=?时即可取得最大值)．故得2525

三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．

分析 要证MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN．现∠A=∠C，故可证ΔAMQ∽ΔCPN．于是要证明AM∶AQ=CP∶CN．

四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色．证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．

AB边上的分点共有n+1个，由于n为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A、B异色)，不妨设相邻分点E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另两个顶点E?、F?，若E?、F?异色，则△EFE?或△DFF?为三个顶点同色的小直角三角形．若E?、F?同色，再考察以此二点为顶

DAGME'EFB点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一NHF'行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色． CPQ同样，BC边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P、Q，

则考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，PQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．

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