《通信原理》习题第二章
又
H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]
?(w?wc)??(w?wc)?1?cos(wc?)
1F1(w)*F2(w)2?
由 付氏变换的性质 可得
f1(t)f2(t)?n0nH(w)?0G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)22?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)Po(w)?（2）
E[?o(t)]?0；
R(0)?E[?02(t)]?Bn0；
R(?)?E2[?o(t)]?0
所以
?2?R(0)?R(?)?Bn0
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
1t2f[?0(t)]?exp(?)2Bn2?Bn00
n0/2习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
11jwCH(w)??1jwRC?1R?jwC
的白噪
(1)
PO(w)?Pi(w)H(w)?2n01*21?(wRC)2
(2) 因为
exp(?a?)?po(w)?2aw2?a2
所以
?n0n01*?R(?)?exp(?)O2(wRC)2?14RCRC
n0/2习题2.26将均值为0，功率谱密度为
高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。
解：
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《通信原理》习题第二章
H(w)?
RR?jwL
2R?n0n0R2Po(w)?Pi(w)H(w)?*2?R(?)?exp(?)O22R?(wL)4LL (1)
(2)
E[n0(t)]?0；
n0R4L
Tb?2?R(0)?R(?)?R(0)?习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为幅度取?1的概率相等。现假设任一间隔关，且过程具有宽平稳性，试证：
??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??Tb （1） 自相关函数
Tb，脉冲
内波形取值与任何别的间隔内取值统计无
（2） 功率谱密度
解： （1）
2P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]。
R?(?)?E[?(t)?(t??)]
R?(?)①当②当
??Tb??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故
=0
2Tb时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在
内，该波形取-1
1-1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。
（A） 波形取-1-1、11 时，
1R(?)?E[?(t)?(t??)]?*1?1/4?Tb4在图示的一个间隔内，
（B） 波形取-1 1、1 -1 时，
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《通信原理》习题第二章
1T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?*(b?)Tb4TbTb 在图示的一个间隔内，
?11T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?2*?2*(b?)?1???Tb44TbTbTb 当时，
??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??Tb 故
（2）
面积。所以
R?(?)?p?(w)?TbSa2(wTb)2。
?A?2w?A?Sa()24,其中2为时域波形的
习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，?(t)是平稳的，求
?1(t)与?2(t)的互功率谱密度的表示式。
（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）
解：
???1(t)???(t??)h1(?)d?00
R12(t1,t1??)?E[?1(t1)?2(t1??)]?2(t)???(t??)h2(?)d?
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《通信原理》习题第二章
???E[??(t1??)h1(?)d???(t1????)h2(?)d?]00?????h1(?)h2(?)R?(?????)d?d?00
????所以
P12(w)????R12(?)e?jw?d?????d????jw?d?[h(?)h(?)R(?????)ed???12???'?令??????
??jw???jw?P12(w)??h(?)e0d??h(?)e0d??[R?(?')e?jw?d?'?H1*(w)H2(w)P?(w)??'
习题2.29若?(t)是平稳随机过程，自相关函数为相关函数及功率谱密度。
解：
R?(?)，试求它通过系统后的自
1/2h(t)??(t)??(t?T)?H(w)?1?e?jwT H(w)?(2?2coswT)
PO(w)?H(w)P?(w)?2(1?coswT)P?(w)2
?jwTP?ejwT)PO(w)?2P?(w)?2coswT*P?(w)?2P?(w)?(e?(w)?2R?(?)?R?(??T)?R?(??T)
n0/2
习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。
解：
E[n0(t)]?0;
?n0n0n012*?R(?)?exp(?)???021?(wRC)24RCRC4RC
又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为
P0(w)?1x2f[x]?exp(?2)2? 2??
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