计算向量数量积的三种方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．如举例说明2.
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．如举例说明3.
1．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则a·c＝( ) A．4 B．8 C．12 D．20 答案 D
解析 因为a∥b，所以x－2×2＝0，解得x＝4，所以a＝(4,2)，所以a·c＝(4,2)·(3,4)＝4×3＋2×4＝20.
2．(2019·西安八校联考)已知点A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，→→
则向量CD在BA方向上的投影是( )
3232
A．－35 B．－2 C．35 D.2 答案 A
→→→→
解析 依题意得，BA＝(－2，－1)，CD＝(5,5)，BA·CD＝(－2，－1)·(5,5)→→
→→→
BA·CD－15
＝－15，|BA|＝5，因此向量CD在BA方向上的投影是→＝＝－35.
5
|BA|
3．在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC＝→→
3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则AN·MN＝( )
A．－7 B．0 C.7 D．7 答案 B
→→→→→→→→→→
311
解析 以AB，AD为基底，AN＝AD＋4AB，MN＝CN－CM＝4CD－3CB＝－
5
→→→→?→→??→→?1?→→?1113119?－AB＋AD?＝?AD2－AB2?＝×(9－9)MN＝?AD＋AB?·4AB＋3AD，AN·4??43?3?16??3＝0，故选B.
题型 二 平面向量数量积的性质
→→→→
1．(2018·华南师大附中一模)已知向量|OA|＝3，|OB|＝2，BC＝(m－n)OA＋→→→→→
m
(2n－m－1)OB，若OA与OB的夹角为60°，且OC⊥AB，则实数n的值为( )
8461
A.7 B.3 C.5 D.6 答案 A
→→→→→→→→
解析 由题意得，OC＝OB＋BC＝(m－n)OA＋(2n－m)OB，AB＝OB－OA，→→OA·OB＝3×2×cos60°＝3.
→→
又因为OC⊥AB，
→→→→→→所以OC·AB＝[(m－n)OA＋(2n－m)OB]·(OB－OA) →→→→＝－(m－n)OA2＋(2m－3n)OA·OB＋(2n－m)OB2 ＝－9(m－n)＋3(2m－3n)＋4(2n－m)＝0， m8整理得7m－8n＝0，故n＝7.
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 23
解析 由题意得，a·b＝2×1×cos60°＝1， 所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4＋4＝12， 所以|a＋2b|＝23.
π
3．已知向量m＝(sinθ，1－cosθ)(0<θ<π)与向量n＝(2,0)的夹角为3，则θ＝________.
6
2π
答案 3
解析 由已知条件得
|m|＝sin2θ＋?1－cosθ?2＝2－2cosθ，
πm·n
|n|＝2，m·n＝2sinθ，于是由平面向量的夹角公式得cos3＝|m||n|＝
2sinθ
22－2cosθ
11
＝2，整理得2cos2θ－cosθ－1＝0，解得cosθ＝－2或cosθ＝1(舍去)．
2π
因为0<θ<π，所以θ＝3.
→→→
条件探究1 把举例说明1的条件改为“已知OA＝(23，0)，OB＝(0,2)，AC→→
＝tAB，t∈R，当|OC|最小时”，求t的值．
→→→→
解 由题意得，OC－OA＝t(OB－OA)， →→→OC＝(1－t)OA＋tOB ＝(1－t)·(23，0)＋t(0,2) ＝(23－23t,2t)，
→
?3?
所以|OC|2＝12(1－t)2＋4t2＝16?t－4?2＋3，
??→
3
所以当t＝4时，|OC|取最小值．
条件探究2 把举例说明2的条件改为“平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2”，求|3a＋b|.
解 由题意得，|a|＝12＋12＝2， a·b＝2×2×cos45°＝2.
所以|3a＋b|2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×2＋6×2＋22＝34. 所以|3a＋b|＝34.
1．求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
7
(2)若已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝举例说明3.
2．求向量模的常用方法
x1x2＋y1y2
.如2222
x1＋y1·x2＋y2
(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝x2＋y2.
(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．如举例说明2.
3．解答向量垂直问题的两个策略
(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
(2)根据两个向量垂直的充要条件a·b＝0，列出相应的关系式．如举例说明1.
1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案 D
解析 ∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，
∴c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝5，|b|＝25， ∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. ∵c与a的夹角等于c与b的夹角， c·ac·b∴|c||a|＝|c||b|， ∴
5m＋88m＋20
＝，解得m＝2. 525
2．(2018·北京高考)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________.
答案 －1
解析 由已知，ma－b＝(m＋1，－m)，又a⊥(ma－b)， 所以a·(ma－b)＝1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，解得m＝－1.
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