全国高中数学联赛一试试题

2013年全国高中数学联赛一试试题

一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1.设集合A??2,0,1,3?，集合B?x?x?A,2?x2?A，则集合B中所有元素的和为

2.在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y2?4x上，满足OA?OB??4，F是抛物线的焦点，则S?OFA?S?OFB=

3.在?ABC中，已知sinA?10sinB?sinC,cosA?10cosB?cosC，则tanA的值为 4.已知正三棱锥P?ABC的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为

5.设a、b为实数，函数f(x)?ax?b满足：对任意x?[0,1]，有f(x)?1，则ab的最大值为 6.从1,2,???,20中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为 7.若实数x，y满足x?4y?2x?y，则x的取值范围是

??1,2,???,8?均有8.已知数列?an?共有9项，其中a1?a9?1，且对每个i??ai?1?1???2,1,??，则这样ai?2?的数列的个数为

二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）给定正数数列?xn?满足Sn?2Sn?1,n?2,3,???,这里Sn?x1?????xn. 证明：存在常数C?0,使得

x2y210.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，

abA1,A2分别为椭圆的左、右顶点，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中有两个点Q,R满足QA1?PA1,QA2?PA2,RF1?PF1,RF2?PF2, 试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明。

11.（本题满分20分）设函数f(x)?ax2?b，求所有的正实数对(a,b)，使得对任意实数x,y均有f(xy)?f(x?y)?f(x)f(y)

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题

一．（本题满分40分）如图，AB是圆?的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上

两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长，与圆?分别项交于点C、D.求证：

(解题时请将图画在答卷纸上)

二．（本题满分40分）给定正整数u、v.数列?an?的定义如下：a1?u?v，对整数m?1， 记Sm?a1?a2?????am(m?1,2,???).证明：数列?Sn?中有无穷多项是完全平方数。

三．（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m,n?2为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得x分，未答对的学生得0分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为

p1?p2?????pn，求p1?p2的最大可能值。

四．（本题满分50分）设n,k为大于1的整数，n?2k.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除。

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。

2.如果考生的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次.

一．填空题：本大题共8小题，没小题8分，共64分. 1.答案：-5

【解答】易知B???2,0,?1,?3?.当x??2,?3时，2?x2??2,?7，有2?x2?A； 而当x?0,?1时，2?x2?2,1，有2?x2?A.因此，根据B的定义可知B???2,?3?. 所以，集合B中所有元素的和为-5. 2.答案：2

2y12y2,x2?【解答】点F的坐标为（1,0）.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?，故 44?4?OA?OB=x1x2?y1y2?1(y1y2)2?y1y2 161(y1y2?8)2?0，故y1y2??8 161112S?OFA?S?OFB?(OF?y1)?(OF?y2)=OF?y1y2=2

2243.答案：11

即

【解答】由于sinA?cosA?10(sinBsinC?cosBcosC)??10cos(B?C)?10cosA，所以

sinA?11cosA，故tanA?11 4.答案：

2 6【解答】如图，设球心O在面ABC与面ABP内的摄影分别为H和K，AB中点为M，内

?切球半径为r,则P、K、M共线，?PHM??PKO?，

2且OH?OK?r,PO?PH?OH?2?r,MH?33AB? 66PM?MH2?PH2=2?153rOKMH1???sin?KPO?? ,于是126PM52?rPO解得：r?15.答案：

426

【解答】易知a?f(1)?f(0),b?f(0)，则

111当2f(0)?f(1)??1即a?b??时，ab?，故ab的最大值为

2442326.答案

323【解答】设a1?a2?a3?a4?a5取自1,2,???,20.若a1,a2,a3,a4,a5互不相邻，则

由此可知从1,2,???,20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,???,16中取5个不同的数的选法相

5同，即C16种.所以从1,2,???,20中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻的概率为：

7.答案：?0??[4,20]

【解答】令y?a,x?y?b(a,b?0)，此时x?y?(x?y)?a2?b2，且条件中等式化为

a2?b2?4a?b，从而a,b满足方程：(a?2)2?(b?1)2?5(a,b?0)

如图所示，在aOb平面内，点(a,b)的轨迹是以(1,2)为圆心，5为半径的圆在a,b?0的部分，即点O与弧ACB的并集，因此a2?b2??0??[2,25]，从而 8.答案：491.

88aaai?1(1?i?8)，则对每个符合条件的数列?an?，有?bi??i?1?9?1 【解答】令bi?a1aii?1i?1ai1??且bi??2,1,??（1?i?8）①

2??反之，由符合条件①的8项数列?bn?可能唯一确定一个符合题设条件的9项数列?an?。

11记符合条件①的数列?bn?的个数为N，显然bi(1?i?8)中有偶数个?，即2k个?；继而

22有2k个2，8?4k个1.当给定k时，?bn?的取法有C82kC82?k2k种，易见k的可能值只有：0,1,2

4?1?28?15?70?1?491 所以N?1?C82C62?C84C4因此，根据对应原理，符合条件的数列?an?的个数为491.

二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.【解答】当n?2时，Sn?2Sn?1等价于 xn?x1?????xn?1 对常数C?1x1，用数学归纳法证明：xn?C?2n,n?1,2,??? 4n?1时结论显然成立.又x2?x1?C?22

对n?3，假设xk?C?2k,k?1,2,???,n?1，则由式①可知

xn?x1?(x2?????xn?1)?x1?(C?22?????C?2n?1)=C?2n

所以，由归纳法可知上式成立。

10.【解答】令c?a2?b2，则A1(?a,0)，A2(a,0)，F1(?c,0)，F2(c,0).设P(x0,y0)，

22x0y0Q(x1,y1),R(x2,y2)，其中2?2?1，y0?0.由QA?PA1,QA2?PA2可知：

abA1Q?A1P?(x1?a)(x0?a)?y1y0?0①

A2Q?A2P?(x1?a)(x0?a)?y1y0?0 ②

2?a2?y1y?0 将①、②相减得：2a(x1?x0)?0，即x1??x0，将其代入①可得：?x022x0?a2x0?a2故y1?，于是Q(?x0,)

y0y02x0?c2根据RF1?PF1,RF2?PF2,同理可得R(?x0,)

y022x0?a2x0?c2b2??因此QR? y0y0y0由于y0?(0,b]，故QR?b（其中等号成立的充分必要条件是y0?b，即点P的坐标是(0,?b)） 11.【解答】已知条件可以转化为：对任意实数x,y，有

(ax2y2?b)?(a(x?y)2?b)?(ax2?b)(ay2?b)①

先寻求a、b所满足的必要条件，在①中令y?0得：b?(ax2?b)?(ax2?b)b 即对任意的实数x，有：(1?b)ax2?b(2?b)?0

由于a?0，故ax2可以取到任意大的值，因此必有1?b?0，即：0?b?1 在①式中再令y??x，得：(ax4?b)?b?(ax2?b)2，即对任意实数x,有

(a?a2)x4?2abx2?(2b?b2)?0②

将②式的左边记作为g(x)，显然a?a2?0（否则，由a?0可知a?1，此时

g(x)??2bx2?(2b?b2)，其中b?0，故g(x)可取到负值，矛盾），于是

=(a?a2)(x2?b2b从而必有：即0?a?1 a?a2?0，)?(2?2a?b)?0对一切实数x成立，

1?a1?a进一步考虑到

bbb)?(2?2a?b)?0，可得：2a?b?2 ?0，再根据g(1?a1?a1?a至此，求得a,b满足的必要条件如下：

0?b?1,0?a?1,2a?b?2③

下面证明，对满足 ③的任意实数对(a,b)以及任意实数x,y，总有①成立，即： 对任意x,y取非负值。

事实上，在③式成立时，有a(1?b)?0,a?a2?0,再结合x2?y2??2xy，可得： =(a?a2)x2y2?2abxy?2b?b2 =(a?a2)(xy?b2b)?(2?2a?b)?0 1?a1?ab(2?2a?b)?0 1?a综上所述，所求的正实数对(a,b)全体为?(a,b)0?b?1,0?a?1,2a?b?2?

2013年全国高中数学联赛加试试题参考答案及评分标准

【证明】连接AD,BC,CF,DE.由于AE?EF?FB,从而

BC?sin?BCEBE=?2 ①

AC?sin?ACEAE同理可得：

AD?sin?ADFAF??2②

BD?sin?BDFBF