..
每日一题 规范练(第四周)
[题目1] (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{bn}中，前n项和为Sn，已知b3＝6，b2，S5＋2，b4
成等比数列．
(1)求{bn}的通项公式；
(2)设an＝(e)bn，求数列{an}的前n项和Sn.
2解：(1)设等差数列{bn}的公差为d， 因为b2, S5＋2，b4成等比数列，b3＝6，
bnb1＋2d＝6，??所以? 5×4
5b1＋d＋2＝（b1＋d）（b1＋3d），?2?
解得?
?b1＝2，???d＝2，
或?
?b1＝10，?
??d＝－2.
因为数列{bn}单调递增，所以d＞0， 所以b1＝2，d＝2，
所以{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)因为an＝(e)bn，所以an＝ne.
2所以Sn＝1·e＋2e＋3e＋…＋ne， 所以eSn＝1·e＋2e＋3e＋…＋ne以上两个式子相减得，
(1－e)Sn＝e＋e＋e＋…＋e－nee－en＋1
所以(1－e)Sn＝－ne，
1－e所以Sn＝
n＋1
2
3
2
3
4
1
2
3
bnnnn＋1
，
nn＋1
，
nen＋2－（n＋1）en＋1＋e
（1－e）
2
.
[题目2] (本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若23cosA＋cos 2A＝0，且△ABC为锐角三角形，a＝7，c＝6，求b的值； π
(2)若a＝3，A＝，求b＋c的取值范围．
3
解：(1)因为23cosA＋cos 2A＝23cosA＋2cosA－1＝0， 12
所以cosA＝，
25
1
又A为锐角，所以cos A＝，
5
由余弦定理得，a＝b＋c－2bccos A，
精品
2
2
2
2
2
2
2
..
122
即b－b－13＝0，
5
解得b＝5(负值舍去)，所以b＝5. (2)法一 在△ABC中，由正弦定理得
ca3＝＝＝＝2， sin Bsin Csin Aπ
sin
3
所以b＋c＝2(sin B＋sin C)＝2[sin B＋sin ?2πππ5π
因为0＜B＜，所以＜B＋＜，
36661?π?所以＜sin?B＋?≤1，则b＋c∈(3，23]． 6?2?
3222
法二 由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A，即b2＋c2－3＝bc?(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c4时取等号，
所以(b＋c)≤12，则b＋c≤23. 又三角形的两边之和大于第三边， 所以b＋c＞a＝3.
故b＋c的取值范围是(3，23]．
[题目3] (本小题满分12分)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．
2
b?2π－B?]＝2[sin B＋(3cos B＋1sin B)]＝23sin?B＋π?.
???6?22?3??
→→
(1)点M为线段AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值； (2)若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．
解：(1)因为BC∥平面SDM，BC?平面ABCD，平面SDM∩平面ABCD＝DM， 所以BC∥DM.
又AB∥DC，所以四边形BCDM为平行四边形， 所以CD＝MB，
又AB＝2CD，所以M为AB的中点． →→因为AM＝λAB， 1
所以λ＝. 2
精品
..
(2)因为BC⊥SD，BC⊥CD，
所以BC⊥平面SCD， 又BC?平面ABCD， 所以平面SCD⊥平面ABCD.
如图，在平面SCD内过点S作SE垂直于CD交CD的延长线于点E，连接AE， 又平面SCD∩平面ABCD＝CD， 所以SE⊥平面ABCD， 所以SE⊥CE，SE⊥AE，
在Rt△SEA和Rt△SED中，AE＝ SA－SE，
2
2
DE＝ SD2－SE2，
因为SA＝SD，所以AE＝DE， 又易知∠EDA＝45°， 所以AE⊥ED，
由已知求得SA＝AD＝2，所以AE＝ED＝SE＝1. 111
连接BD，则V三棱锥S-ABD＝××2×1×1＝，
323
133
又V三棱锥B-SAD＝V三棱锥S-ABD，S△SAD＝×2×2×＝，
222所以点B到平面SAD的距离为
V三棱锥B-SAD23
1S△SAD3
＝
3
.
[题目4] (本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x与利润y的统计数据如下表：
月份 销售量x(万件) 利润y(万元) 1 3 19 2 6 34 3 4 26 4 7 41 5 8 46 (1)从这五个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；
^
(2)已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程y^
＝bx＋a；
(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？
精品
^
..
解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m，n均不小于30”为事件A，则事件A包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3个．
故所求事件的概率为P(A)＝
3. 10－
－
(2)由前4个月的数据可得，x＝5，y＝30，
xiyi＝652，x2i＝110.
^
所以b＝
652－4×5×30＝＝5.2. 2
110－4×5
^
则a＝30－5.2×5＝4，
^
所以线性回归方程为y＝5.2x＋4.
^
(3)由题意得，当x＝8时，y＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2， 所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．
1122
[题目5] (本小题满分12分)已知动圆C与圆E：x＋(y－1)＝外切，并与直线y＝相切．
42(1)求动圆圆心C的轨迹F；
(2)若从点P(m，－4)作曲线F的两条切线，切点分别为A、B，求证：直线AB恒过定点． 1
(1)解：由题意知，圆E的圆心E(0，1)，半径为，设动圆圆心C(x，y)，半径r.
211
因为圆C与直线y＝－相切，所以d＝r，即y＋＝r.①
22
1122
因为圆C与圆E外切，所以|CE|＝＋r，即x＋（y－1）＝＋r.②
22联立①②，消去r，得x＝4y.
所以圆心C的轨迹F是以E(0，1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线． (2)证明：已知直线AB的斜率一定存在．不妨设直线AB的方程为y＝kx＋b.
?x＝4y，?2
联立?整理得x－4kx－4b＝0，
??y＝kx＋b，
2
2
其中Δ＝16(k＋b)＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③ 121由抛物线的方程可得y＝x，所以y′＝x.
42
1
所以过A(x1，y1)的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，
2
精品
2
相关推荐：
loading