..
12112
又y1＝x1，代入整理得y＝x1x－x1.
424
切线过P(m，－4)，代入整理得x1－2mx1－16＝0， 同理可得x2－2mx2－16＝0，
所以x1，x2为方程x－2mx－16＝0的两个根， 所以x1＋x2＝2m，x1x2＝－16.④ 联立③④，得b＝4，k＝.
2则直线AB的方程为y＝x＋4，
2所以直线AB恒过定点(0，4)．
12x [题目6] (本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－a)e－ax＋a(a－1)x(x∈R)．
2
(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切处为l，l与x轴的交点坐标为(2，0)，求a的值； (2)讨论f(x)的单调性．
解：(1)f′(x)＝(x－a)e＋e－ax＋a(a－1)， 所以f′(0)＝(a－1)，又f(0)＝－a， 所以切线方程为y＋a＝(a－1)(x－0)， 令y＝0得x＝2＝2，
（a－1）所以2a－5a＋2＝0， 1
所以a＝2或a＝. 2
(2)f′(x)＝(x－a)e＋e－ax＋a(a－1) ＝[x－(a－1)](e－a)， 当a≤0时，e－a≥0，
xxxx2
2
22
2
2
mmxxax∈(－∞，a－1)，f′(0)＜0，f(x)为减函数， x∈(a－1，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝a－1，x2＝ln a， 令g(a)＝a－1－ln a， 1a－1
则g′(a)＝1－＝，
aa当a∈(0，1)时，g′(a)＜0，g(a)为减函数， 当a∈(1，＋∞)时，g′(a)＞0，g(a)为增函数， 所以g(a)min＝g(1)＝0，
所以a－1≥ln a(当且仅当a＝1时取“＝”)， 所以当0＜a＜1或a＞1时，
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..
x∈(－∞，ln a)，f′(x)＞0，f(x)为增函数， x∈(ln a，a－1)，f′(x)＜0，f(x)为减函数， x∈(a－1，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当a＝1时，f′(x)＝x(e－1)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
综上所述，当a≤0时，f(x)在(－∞，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数，当0＜a＜1或a＞1时，f(x)在(ln a，a－1)上为减函数，在(－∞，ln a)和(a－1，＋∞)上为增函数；当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4-4：极坐标系与参数方程]
12?x＝＋t，?22??x＝2cos α，
已知直线l的参数方程为?(t为参数)，椭圆C的参数方程为?(α为参数)．在平
?y＝sin α?12
y＝－t??22
x?π?面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为?2，?.
3??
(1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标； (2)直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△APQ的面积．
??x＝2cos α，x22
解：(1)由?化为直角坐标方程得＋y＝1.
4?y＝sin α?
?π?因为A的极坐标为?2，?，
3??
ππ
所以x＝2cos ＝1，y＝2sin ＝3.
33故点A在直角坐标系下的坐标为(1，3)． 12
?x＝＋t，?22x(2)将?代入＋y＝1，
412
??y＝2－2t2
2
化简得10t－62t－11＝0.
3211设此方程两根分别为t1，t2.则t1＋t2＝，t1t2＝－，
510822
所以|PQ|＝（t1＋t2）－4t1t2＝.
5
因为直线l的一般方程为x＋y－1＝0，所以点A到直线l的距离为d＝182643
所以△APQ的面积为××＝.
25252．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲] 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，其中a∈R.
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2
3
6
＝. 22
..
(1)若a＝4，求不等式f(x)≥5的解集；
(2)若f(x)≥4对于x∈R恒成立，求a的取值范围． 解：(1)因为a＝4，所以f(x)＝|x－1|＋|x－4|. 当x≤1时，|x－1|＋|x－4|＝－2x＋5， 解不等式－2x＋5≥5，得x≤0；
当1＜x＜4时，|x－1|＋|x－4|＝3，显然f(x)≥5不成立； 当x≥4时，|x－1|＋|x－4|＝2x－5， 解不等式2x－5≥5，得x≥5.
故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}．
(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|(x－1)＋(a－x)|＝|a－1|， 所以f(x)min＝|a－1|.
由题意得|a－1|≥4，解得a≤－3或a≥5.
所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．
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