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∴CN＝NB＝CB，
， 又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°， ∵∠ACB=90°
，∴MD//BC， ∴∠CMD+∠ACB=180°
又∵D是AB的中点，∴MD＝CB， ∴MD＝NB．
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
24. 已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标，并求出△ABC的面积；
(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′、B′，且L′与x轴相交于A′两点（点A′在点B′的左侧），B′C′并与y轴交于点C′，要使△A′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
【答案】（1）A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)；15；（2）y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6． 【解析】【分析】（1）在抛物线解析式中分别令x=0、y=0即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得三角形的面积；
（2）将抛物线向左或向右平移时，A′、B′B′C′两点间的距离不变，始终为5，那么要使△A′和△ABC的面积相等，高也只能是6，分点C′在x轴上方与x轴下方两种情况分别讨论即可得.
【详解】（1）当y＝0时，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，
当x＝0时，y＝－6，
∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)， OC＝×5×6＝15； ∴S△ABC＝AB·
（2）将抛物线向左或向右平移时，A′、B′两点间的距离不变，始终为5， B′C′那么要使△A′和△ABC的面积相等，高也只能是6， 设A(a，0)，则B(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，
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当x＝0时，y＝a2＋5a，
当C′点在x轴上方时，y＝a2＋5a＝6，a＝1或a＝－6， 此时y＝x2－7x－6或y＝x2＋7x－6；
当C′点在x轴下方时，y＝a2＋5a＝－6，a＝－2或a＝－3， 此时y＝x2－x－6或y＝x2＋x－6(与原抛物线重合，舍去)；
所以，所有满足条件的抛物线的函数表达式为：y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线的平移等知识，熟知抛物线沿x轴左右平移时，抛物线与x轴两个交点间的距离不变是解（2）小题的关键.
25. 问题提出
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ． 问题探究
(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值． 问题解决
(3)如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在
、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按
P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．
图① 图② 图③ 【答案】（1）5；（2）18；（3）（3
－9）km．
【解析】【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据已知条件可得△AOB是等边三角形，由此即可得半径；
（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MN即为MP的最大值，根据垂径定理求得OM的长即可求得MN的最大值；
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（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P′、P＂连接PP′、P′E，PE，P＂F，PF，PP＂，则P′P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度， 根据题意正确画出图形，得到点P的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值.
【详解】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC， ∴∠BAO=∠OAC=∠BAC=∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=5， 故答案为：5；
=60°，
（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP， 显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝∴PM的最大值为18；
＝5，MN＝18，
（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P′、P＂连接PP′、P′E，PE，P＂F，PF，PP＂
E＋EF＋FP＂＝P′P＂，、E、F、P＂在一条直线上，P＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P′且P′所以P′即为最短距离，其长度取决于PA的长度，
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如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的， 点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC＝3∴?ABC是直角三角形，∠ABC＝30°
，
，
BC所对的圆心角为60°，∴?OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3，AO＝3∴∠ABO＝90°
，PA＝3
－3
，
AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂， ∠P′
AP＂＝2∠ABC＝120°，P′A＝AP＂， ∴∠P′
E＝∠AP＂F＝30°， ∴∠AP′
P＂＝2P′Acos∠AP′E＝∵P′
P′A＝3
－9，
所以PE＋EF＋FP的最小值为3－9km．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
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