全国中学生物理竞赛集锦（力学）

线在A点的曲率半径为RA，在B点的曲率半径为RB．

第十八届预赛2001-09-09

一、（15分）如图预18－l所示，杆OA长为R，可绕过

其端点A系着一跨过定O点的水平轴在竖直平面内转动，

滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为

H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为?时，杆的角速度为?，求此时物块M的速率vM。

五、（25分）如图预18－5所示，一质量为M、长为L带薄挡板P的木板，静止在水平的地面上，设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，皆为

质量为m的人从木板的一端由静止开始相?．

对于地面匀加速地向前走向另一端，到达另一端时便骤然抓住挡板P而停在木板上．已知人与木板间的静摩擦系数足够大，人在木板上不滑动．问：在什么条件下，最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？

第十八届复赛 六、（27分）一玩具“火箭”由上下两部分和一短而硬（即劲度系数很大）的轻质弹簧构成．上部分G1的质量为m1，下部分G2的质量为m2，弹簧夹在G1与G2之间，与二者接触而不固连．让G1、G2压紧弹簧，并将它们锁定，此时弹簧的弹性势能为己知的定值E0．通过遥控可解除锁定，让弹簧恢复至原长并释放其弹性势能，设这—释放过程的时间极短．第一种方案是让玩具位于一枯井的井口处并处于静止状态时解除锁定，从而使上部分G1升空．第二种方案是让玩具在井口处从静止开始自由下落，撞击井底（井足够深）后以原速率反弹，反弹后当玩具垂直向上运动到离井口深度为某值h的时刻解除锁定．

1．在第一种方案中，玩具的上部分G1升空到达的最大高度（从井口算起）为多少？其能量是从何种形式的能量转化来的？

2．在第二种方案中，玩具的上部分G1升空可能达到的最大高度（亦从井口算起）为多少？并定量地讨论其能量可能是从何种形式的能量转化来的． 第十七届预赛2000年 二、（15分）一半径为R?1.00m的水平光滑圆桌面，圆心为O，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C，如图预17-2所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为

m?7.5?10－2kg的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉

直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为v0?4.0m/s的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为T0?2.0N时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．

1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?

2．若绳刚要断开时，桌面圆心O到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O的水平距离为多少？已知桌面高度H?0.80m．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为10m/s2． 八、（20分）如图预17-8所示，在水平桌面上放有长木板C，在C上C上右端是固定挡板P，

左端和中点处各放有小物块A和B，A、B的

尺寸以及P的厚度皆可忽略不计，A、B之间和B、P之间的距离皆为L。设木板C与桌面

之间无摩擦，A、C之间和B、C之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为?；A、B、C（连同挡板P）的质量相同．开始时，B和C静止，A以某一初速度向右运动．试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A的初速度v0应满足的条件，或定量说明不能发生的理由．

（1）物块A与B发生碰撞；

（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与挡板P发生碰撞；

（3）物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上再发生碰撞；

（4）物块A从木板C上掉下来； （5）物块B从木板C上掉下来．

第十七届复赛 四、（25分）宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小得很多，飞行器的速率为v0，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍．有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：Ⅰ. 当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ. 飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ. 小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰，不计燃烧的燃料质量． 1．试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系；

2．设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为E1．如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时，飞行器从发动机取得的能量的最小值用E2表示，问

E1E2为多少?

第十六届预赛1999年

二、（15分）一质量为M的平顶小车，以速度v0沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为?。

1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？ 2. 若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？

七、（15分）将一根长为100多厘米的均匀弦线，沿水平的x轴放置，拉紧并使两端固定。现对离固定的右端25cm处（取该处为原点O，如图预16-7-1所示）的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向（即y轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图预16-7-2所示。该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）。已知该波在弦线中的传播速度为2.5cm/s，且波在传播和反射过程中都没有能量损失。

1. 试在图预16-7-1中准确地画出自O点沿弦向右传播的波在t?2.5s时的波形图。

2. 该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播，反射点总是固定不动的。这

可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零。由此观点出发，试在图预16-7-1中准确地画出t?12.5s时的波形图。

3. 在图预16-7-1中准确地画出t?10.5s时的波形图。

八、（15分）1997年8月26日在日本举行的国际天文学会上，德国Max Planck学会的一个研究组宣了他们的研究成果：银河系的中心可能存在一个在黑洞。他们的根据是用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得到的数据，他们发现，距离银河系中心约60亿公里的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据上面的数据，试在经典力学的范围内（见提示2），通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少。（引力常数G?6.67?10－20km3?kg－1?s－2）

提示：1. 黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至于包括光在内

的所有物质都不了其引力作用。

2．计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型，在这种模型中，在黑洞表面上的所

有物质，即使初速度等于光速c也逃脱不了其引力的作用。

九、（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为?1和?2（?1??2）。现让一长为L、密度为(?1??2)的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体

21分界面的距离为

34L，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍

运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露出液面，也未与容器相碰。

第十六届复赛 四、（20分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。

现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期T计算。

?) 2. 若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测:T计算?1:N(N1。为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物

质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。 六、（25分）如图复16-6所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在A(x0,0,0)处放一带电量为?q(q?0)的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直与x轴，与z轴夹角为?（如图复16-6所示）。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为??tan?,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态。若已知

小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。

全国中学生物理竞赛集锦（力学）答案

第21届预赛（2004.9.5）