《现代控制理论》MOOC课程第二章系统状态空间表达式的解2.1 线性定常齐次状态方程的解
三. 矩阵指数函数的计算方法
方法一方法二
根据矩阵指数函数的定义：
??????
1??21????直接计算。
=??+????+????+?=?????
2!??!??=??
∞
将A阵化为对角标准型或约当标准型求解
1. A的特征值不存在重根
若A的n个特征值????,????,?,????不存在重根，则在求出使A阵实现对角化
????
?????????
=
????
?
????
????????
??????
=??
????????
的变换阵
?????、??
后，即有指数函数矩阵：
?
?????
????????
2.1 线性定常齐次状态方程的解
证明：
????
????
由
?????????
=
????
?
可得
??=??
????
?
?????????????
∞
∞
????
??
∞
??=?1??
??
????
??!????????=?1??
????
??
?????
??=??
??=??
??!?
??
???
??=1
????
??=??
??!??
?
∞?1??!????????????=??∞??????
=??
?1????????!???????????
????????
??=??=??
??
?????
∞????????
?1??=????!????????????
?????????
????
得证
2.1 线性定常齐次状态方程的解
2. A的特征值存在重根
若A的??组不同特征值为：????，????，?，????，代数重数分别为????，????，?，????(????+????+?+????=??)且几何重数均为1，则在求出使A阵为约当标准型：
????
????=??
???
????=
????
??
?
其中????=
????
的变换阵?????、??后，即有指数函数矩阵：
??????????
??????
=??
????????
?
?????其中
????????=??????????????????
?????证明：证明的思路与1相同,略去。
1????
??
1为????×????维矩阵
????
?????????????!(????)!???????????????????(?????)!?????????????????????????????三. 矩阵指数函数的计算方法
方法三
2.1 线性定常齐次状态方程的解
????????=??+????!??∞
拉氏变换法：??????=?????(???????)???
??????
1??21????
=??+????+????+?=?????
2!??!??=??
证明：由矩阵指数函数的定义：
取拉氏变换
??(??????)
????????1
=??+????+????+?=?(??+1)????????????∞
??=??∞
=
?????
?
??=??
?????????
=
?????
???
??????
????
=???????
???
取拉氏反变换
1?1?1=+????+(???????+?+??+?=??==(1???)??????
????????)1?????=??
2
??
??
∞
得证
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