1?2－n?11?1?2?nn＝1??＋＋…＋n－1??n＝1??1?n－1??n＝n. 11分
2?2?24?2?22
?an?n所以Sn＝n－1.当n＝1时也成立．综上，数列?n－1?的前n项和Sn＝n－1. 12分
22?2?
n19.(本小题满分12分)
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 (1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； (2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．
解：(1)由分层抽样的定义可知乙厂生产的产品数量为98×5
＝35(件)． 3分 14
(2)由题中表格提供的数据可知，乙厂抽取的5件产品中有2件优等品，分别是2号和52
号，样品中优等品的频率为，
5
2
由(1)知乙厂共有产品35件，所以估计乙厂优等品的数量为35×＝14(件)． 6分
5(3)5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2.
C23C1C13C2133·22P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝1)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝. 9分
C510C55C510分布列为
ξ P 0 3 101 3 52 1 103314故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 12分
10510520、(本题12分，第1小问4分，第2小问4分，第3问4
分) 如图：四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥?
底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M是BC上的点，且
31BM=，
2
(1)证明：BC⊥平面POM；
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P D O A B M C (2)在边PC与底面ABCD所成角的正切值为1，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值．
13?
解：(1)连接OB，OM，由AB＝2，∠BAD＝，BM=得OB=1，OM=，由勾股定理可知，
322OM⊥BC，由题意知，PO⊥BC，可得BC⊥平面POM 6分
本小问也可建系求解
(2)以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴建立直角坐标系，则
A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(－3,0,0)，D(0,－1,0)，由PC与底面ABCD所成角的正切值为1得
?3x-3z=0→
P(0,0,3)，设m=(x,y,z)为平面PAD的法向量，则?，令z=1，则x=1，y=-3，即
?-y-3z=0
→→→→3
m=(1,-3,1)；同理可得：平面PBC的法向量n=(-1,3,1)，所以cos
53
与两平面的位置关系可得，平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为． 12分
521．(本小题满分12分)
x2y22已知椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾
ab2
斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q． （1）求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论． a2－b2412
解：（1）由题设，得2＋2＝1，…①且＝， ……②
aba2
x2y222
由①、②解得a＝6，b＝3，椭圆C的方程为＋＝1．……………6分
63
（2）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得 (1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
8k2－8k－4－4k2＋4k＋2
－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．
1＋2k21＋2k2－4k2－4k＋2
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝．……9分
1＋2k2因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
8k
2y1－y2k(x1＋2)＋k(x2＋2)k(x1＋x2＋4)1＋2k
故kPQ＝＝＝＝＝1，
8kx1－x2x1－x2x1－x2
1＋2k2因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………12分
ex2
22．设函数f(x)＝2－k(＋ln x)(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
xx(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k>1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围． 解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．
xxx
x2ex－2xex21xe－2ek(x－2)(x－2)(e－kx)f′(x)＝－k(－2＋)＝－＝. x4xxx3x2x3由k≤0可得ex－kx>0，
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所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． 6分 (x－2)(ex－kx)
(2)由f′(x)＝.
x3设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k， 当k>1时，
当x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减； x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增． 所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)． g(0)>0，??g(ln k)<0，
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当?g(2)>0，
??0 解得e 2 e2 综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e，)． 12分 2 附加题 1．－200 2．3+22 3．已知抛物线y2＝8x，点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，记抛物线上任意一点P到直线x=-2的距离为d，则d＋|PQ|的最小值等于__________ 解析 如图所示，由题意，知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，连接PF，则d＝|PF|. 圆C的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1,4)，半径r＝2. d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，显然，|PF|＋|PQ|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)． 而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离， 显然当F，Q，C三点共线时取得最小值， 最小值为|CF|－r＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3. 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com
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