第十二章 数项级数
§ 1 级数的收敛性
1． 试讨论几何级数（也称为等比级数） a?ar?a2． 证明下列级数的收敛性，并求其和数：
（1）
r2?...ar?....(a?0)的收敛性。
n1111???......?....; 1?66?1111?16(5n?4)(5n?1)（2）(?)?(!213123?21)?....(2123?n1n)?.....;
（3）?1;
n(n?1)(n?2)（4）?(n?2?2n?1?n); （5）?2n?12n;
3． 证明：若级数?4． 设级数?un发散，c?0,则?cunn也发散。
与
un和?v都发散，试问?(u?v)一定发散吗？又若unnnv（n=1,2,….）
n都是非负数，则能得出什么结论？ 5． 证明：若数列{6． 证明：若数列{（1） 级数
a}收敛于a,则级数?(a?annn?1)?a1?a
b}有limbnn?1n???，则
?(b?bn)发散；
1n（2） 当
bn?0时，级数?(bb?1n?1)=
1b
17． 应用第5，6题的结果求下列级数的和：
（1）
1?(a?n?1)(a?n);
（2）
?(?1)n?12n?1;
n(n?1)（3）
?2n?1(n?1)[(n?1)?1]22;
8． 应用柯西准则判别下列级数的收敛性：
(?1)n ；
（1）?； （2）?2n?12(?1)1（3）?； （3）?；
nn?nsin2nnn?122n29． 证明级数 10．
?uNn收敛的充要条件是：任给正数?，存在某自然数N,对一切n>N,总有
u?uN?1?....?un??。
举例说明：若级数
?un对每一个自然数p满足条件
lim(u?un??nn?1?...un?p)?0，则这级数不一定收敛。
§ 2 正项级数
1． 应用比较原则判别下列级数的收敛性：
（1）
??1n?a11?n222； （2）
?2?n?2nsin1?3n；
（3）； （4）
?(lnn)1nn；
（5）
?(1?cosn)； （6）?n1n；
（7）
?(a?a?2),(a?0)； （8）?n?21n?1n?1(lnn)lnn；
2． 用比较判别法或根式判别法鉴定下列级数的收敛性：
（1）
1?3???(2n?1)(n?1)!； （2）??n；
n!10
nn!（3）?(； （4）)?；
n2n?1nn（5）?n23． 设
2n； （6）
?(bann)（其中an?a(n??);an,a,b?0且a?b)
?u和?vn为正项级数，且存在正数n，则级数
N,对一切n>0N,有0uun?1n?vvn?1n。
证明：若级数4． 设正项级数5． 设
?vn?un也收敛；若
2?un发散，则
?vn也发散。
?a?un收敛，证明级数n?an也收敛；试问反之是否成立？
2an?0,且数列{nan}有界，证明级数?an收敛。
n6． 设正项级数收敛，证明级数
?uunn?1也收敛。
7． 证明下列极限：
（1）
nlim(n!)n??n=0； （2）
limn??(2n)!a!n?0,(a?1)。
提示：由级数收敛的必要条件推出。 8． 用积分判别法讨论下列级数的收敛性：
（1）
n （2）;?2?1?2?1;
nn?1?1（3）?; （4）?nlnnln(lnn)n?3n(n?3ln1n)(lnlnn)2mpq
9． 设
?a?为递减正项数列，证明：级数?a与?2am??nn?1n同时收敛或同时发散。
m?010． 设
a?0,bn?0,cn?bnnaan?bn?1。证明：
n?1（1） 若存在某自然数
Nn0及常数k,当n>
?N10时，有
cn ?k?0,则级数?an收敛；
n?1?（2） 若n>
N0时有
c?0，且limn??k?1?b???，则级数?an发散。
n?1?k注意：当（1）中
2）中bb?1就是比式判别法，（12n?n就是拉贝判别法
11．设级数
?ann收敛，证明级数
(?anann?0)也收敛。
12．判别下列级数的收敛性：
n!3（1）?； （2）?2nnnn2?n?2;
（3）
1; （4）?(na?1),(a?1); ?n?2lnn?（5）
?1?3???(2n?1)1n!,(x?0); ； （6）?2?4???2n2n?1(x?1)???(x?n)13．用根式判别法证明级数
?21?n?(?1)收敛，并说明比式判别法对此级数无效。
1n14．求下列极限（其中p>1）: (1)
limn??n??(1p(n?1)(n?2)(1?p?????1(2n)p);
(2)
limnp?n?11p?????n?2p2n);
15.设
a?1?a1)(1?a2)???(1?an)?与级数?an同时收敛或同时发散。 ?0,证明数列（
§ 3 一般项级数
1． 下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散：
（1）
nsinnxn; （2）?n!?(?1)n?1;
（3）
?(?1)np?1nn； （4）
?(?1)n2sin;
nn（5）
?(?1)(nnnln(n?1)(?1)1; ?); （6）?n?1nnn（7）
2n?100 （8）n!x;
)?(?1)?()3n?1n(
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