第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．
3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础知识部分】
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法
N表示自然数集，N?或N?表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表
示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a?M，或者a?M，两者必居其一. （4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A?A A中的任一元素都属于B (2)??A (3)若A?B且B?C，则A?C (4)若A?B且B?A，则A?B （1）??A（A为非空子集） ?性质 示意图 A?B 子集 （或A(B)BAB?A) A?B ?或 A?B，且B中至少有一元素不属于A 真子集 （或B?A） ?(2)若A?B且B?C，则A?C ???BA 集合 相等 A?B A中的任一元素都(1)A?B 属于B，B中的任(2)B?A 一元素都属于A nA(B) nn（7）已知集合A有n(n?1)个元素，则它有2个子集，它有2?1个真子集，它有2?1个非空子集，它有2?2非空真子集. （8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 （1）AI（2）AI（3）AI AI示意图 n交集 AIB {x|x?A,且x?B} 并集 AUB {x|x?A,或x?B} A?A ??? B?A B?B （1）AUA?A （2）AU??A （3）AUB?A AUB?B 1痧U(AIB)?(UA)U(?UB)痧U(AUB)?(UA)I(?UB)AI(eUA)?? AB AB 补集 eUA {x|x?U,且x?A} 2AU(eUA)?U 【范例解析】
例.已知R为实数集，集合A?{xx2?3x?2?0}.若B?CRA?R，
B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，求集合B. 【基础练习】
1.集合{(x,y)0?x?2,0?y?2,x,y?Z}用列举法表示 ． 2.设集合A?{xx?2k?1,k?Z}，B?{xx?2k,k?Z}，则A?B? ． 3.已知集合M?{0,1,2}，N?{xx?2a,a?M}，则集合M?N?_______． 4.设全集I?{1,3,5,7,9}，集合A?{1,a?5,9}，CIA?{5,7}，则实数a的值为_______． 【反馈演练】
1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?A?B?UC=_________． 1．设集合A??2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合
P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是_______个．
3．设集合P?{xx2?x?6?0}，Q?{x2a?x?a?3}. （1）若P?Q?P，求实数a的取值范围； （2）若P?Q??，求实数a的取值范围； （3）若P?Q?{x0?x?3}，求实数a的值.
第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系． 2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．
3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础知识部分】
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若?p，则?q”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若?q，则?p”。
6、四种命题的真假性之间的关系：
?1?两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?2?两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p?q． 当p、q都是真命题时，p?q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p?q是假命题．
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p?q． 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p?q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p?q是假命题．
对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作?p．若p是真命题，则?p必是假命题；若p是假命题，则?p必是真命题． 8、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表
示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对?中任意一个x，有p?x?成立”，记作“?x??，p?x?”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在?中的一个x，使p?x?成立”，记作“?x??，p?x?”． 9、全称命题p：?x??，p?x?，它的否定?p：?x??，?p?x?。全称命题的否定是特称命题。
特称命题p：?x??，p?x?，它的否定?p：?x??，?p?x?。特称命题的否定是全称命题。
10、常见结论的否定形式
原结论 是 原结论 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q 对任何x， 存在某x， 不成立 成立 p且q
【范例解析】
例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d.
例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.
（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（3）p：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同，q：方程x2?x?1?0的两实根的绝对值相等.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p：每一个非负数的平方都是正数；
反设词 不是 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q ?p或?q （3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分. 【基础练习】
1.下列语句中：①x2?3?0；②你是高三的学生吗？③3?1?5；④5x?3?6． 其中，不是命题的有_________．
2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为 ，否命题可表示为 ，逆否命题可表示为 ；原命题与 互为逆否命题，否命题与 互为逆否命题． 【反馈演练】
1．命题“若a?M，则b?M”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p：?x?R,sinx?1，则?p:
3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____ ____. 4．命题“若a?b，则2a?2b?1”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0； （2）设a,b?R，若a?0,b?0，则ab?0．
第3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】
1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
2. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础知识部分】 1、充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 2、从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合P?Q，则P是Q的充分条件； 若集合P?Q，则P是Q的必要条件； 若集合P?Q，则P是Q的充要条件；
【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
?x?2,?x?y?4,（1）?是?的___________________条件；
y?2.xy?4.??（2）(x?4)(x?1)?0是
x?4?0的___________________条件； x?1（3）???是tan??tan?的___________________条件； （4）x?y?3是x?1或y?2的___________________条件. 【基础练习】
1.若 ，则p是q的充分条件．若 ，则p是q的必要条件．若 ，则p是q的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）已知p:x?2，q:x?2，那么p是q的_____ ___条件．
（2）已知p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的____ _____条件． （3）已知p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的___
__条件．
3.若x?R，则x?1的一个必要不充分条件是 ． 【反馈演练】
a ? N
设集合，，则“”是“M?{x|0?x?3}N?{x|0?x?2}a?M1． 条件
2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件． 3．已知条件p:A?{x?Rx2?ax?1?0}，条件q:B?{x?Rx2?3x?2?0}．若?q是?p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
第二章 函数A
【知识导读】
【方法点拨】
函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．
1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等． 2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．
3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”． 4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．
表 示 方 法 一般化 概念 定义域 值域 图像 单调性 奇偶性 幂函数 映射 特殊化 函数 具体化 基本初等函数Ⅰ 指数函数 对数函数 二次函数 指数 互 逆 对数 函数与方程 应用问题 第1课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础知识部分】
函数的概念
①设
A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中任何一个数x，在集合B）
中都有唯一确定的数叫做集合
那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则ff(x)和它对应，
A到B的一个函数，记作f:A?B．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 映射的概念
①设
A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中任何一个元素，在集合B中都
）叫做集合
有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合到B的映射，记作②给定一个集合
A，B以及A到B的对应法则fAf:A?B．
A到集合B的映射，且a?A,b?B．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素
b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
【范例解析】
x2?1例1.设有函数组：①f(x)?，g(x)?x?1；②f(x)?x?1?x?1，
x?1g(x)?x2?1；
③f(x)?x2?2x?1，g(x)?x?1；④f(x)?2x?1，g(t)?2t?1．其中表示同一个
x1； ?x2?1； ② f(x)?2?xlog1(2?x)2函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① y?例3.求下列函数的值域：
（1）y??x?4x?2，x?[0,3)；
2x2（2）y?2(x?R)；
x?1（3）y?x?2x?1．
【基础练习】
1．设有函数组：①y?x，y?x2；②y?x，y?3x3；③y?x，y?x；④、x?1y????1(x?0),(x?0),，y?xx；⑤y?lgx?1，y?lgx．其中表示同一个函数的有___ 10___ ．
2.设集合M?{x0?x?2}，N?{y0?y?2}，从M到N有四种对应如图所示： y y y
2 2 2
O 1 2 x O 1 2 x O 1
① ② ③
其中能表示为M到N的函数关系的有_________． 3.写出下列函数定义域：
(1) f(x)?1?3x的定义域为______________； ______________；
y 2 2 x O 1 ④
2 x (2) f(x)?1的定义域为x2?1(x?1)01(3) f(x)?x?1?的定义域为______________； (4) f(x)?的定义域为
xx?x_________________． 4．已知三个函数:(1)y?P(x)； (2)y?2nP(x)(n?N*)； (3)y?logQ(x)P(x)．写出使Q(x)各函数式有意义时，P(x)，Q(x)的约束条件： (1)______________________；(3)______________________________． 5.写出下列函数值域：
2
(2)______________________
；
(1) f(x)?x?x，x?{1,2,3}；值域是 (2) f(x)?x?2x?2； 值域是 (3) f(x)?x?1，x?(1,2]． 值域是
2【反馈演练】
x1．函数f(x)＝1?2的定义域是___________．
2．函数f(x)?1的定义域为_________________． 2log2(?x?4x?3)3. 函数y?1(x?R)的值域为________________． 21?x4. 函数y?2x?3?13?4x的值域为_____________． 5．函数y?log0.5(4x2?3x)的定义域为_____________________．
6.记函数f(x)=2?x?3的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B． x?1(1) 求A；
(2) 若B?A，求实数a的取值范围．
第2课 函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础知识部分】
函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足
a?x?b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a?x?b，或a?x?b的实数x的
集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x?a,x合分别记做[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)． 注意：对于集合{x|a??a,x?b,x?b的实数x的集
x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须
a?b．
【范例解析】
例1.已知二次函数y?f(x)的最小值等于4，且f(0)?f(2)?6，求f(x)的解析式． 例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出y?f(x)的函数解析式． y
4
3
2
1 O 10 20 30 40 50 60 x
例2
【基础练习】
1.设函数f(x)?2x?3，g(x)?3x?5，则f(g(x))?_________；g(f(x))?__________．
2.设函数f(x)?12，g(x)?x?2,则g(?1)?____________；f[g(2)]? ；1?xf[g(x)]? ．
3.已知函数f(x)是一次函数，且f(3)?7，f(5)??1,则f(1)?_____．
?|x?1|?2,|x|?1,1?4.设f(x)＝?1，则f[f()]＝_____________．
2, |x|?1?2?1?x
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
【反馈演练】
第5题
ex?e?xex?e?x1．若f(x)?，g(x)?，则f(2x)?（ ）
22 Ａ． 2f(x) Ｂ．2[f(x)?g(x)] Ｃ．2g(x) Ｄ． 2[f(x)?g(x)]
12．已知f(x?1)?2x?3，且f(m)?6，则m等于________．
23. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．
第3课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义； 2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
函数的单调性
定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x< x时，都12．．．．．有f(x)
【范例解析】
例1 . 求证：（1）函数f(x)??2x?3x?1在区间(??,]上是单调递增函数； （2）函数f(x)?2342x?1在区间(??,?1)和(?1,??)上都是单调递增函数． x?11的单调性． 1?2x例2.确定函数f(x)?【基础练习】 1.下列函数中： ①f(x)?12； ②f?x??x?2x?1； ③f(x)??x； x ④f(x)?x?1．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有______． 2.函数y?xx的递增区间是___ ___． 3.函数y?x2?2x?3的递减区间是__________．
4.已知函数y?f(x)在定义域R上是单调减函数，且f(a?1)?f(2a)，则实数a的取值
范围__________． 5.已知下列命题：
①定义在R上的函数f(x)满足f(2)?f(1)，则函数f(x)是R上的增函数； ②定义在R上的函数f(x)满足f(2)?f(1)，则函数f(x)在R上不是减函数；
③定义在R上的函数f(x)在区间(??,0]上是增函数，在区间[0,??)上也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数；
④定义在R上的函数f(x)在区间(??,0]上是增函数，在区间(0,??)上也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数．
其中正确命题的序号有___________． 【反馈演练】
1，则该函数在R上单调递____，（填“增”“减”）值域为_________． 2x?122．已知函数f(x)?4x?mx?5在(??,?2)上是减函数，在(?2,??)上是增函数，则f(1)?_____.
1．已知函数f(x)?3. 函数y??x2?x?2的单调递增区间为 .
ax?1在区间(?2,??)上是增函数，求实数a的取值范围． x?24. 函数f(x)?x2?1?x的单调递减区间为 ． 5. 已知函数f(x)?
第4课 函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．
函数的奇偶性
定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函数f(x)叫做奇函．．．．．．数． ．函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函数f(x)叫做偶函数． ．．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） 图象 判定方法 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）
【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性：
(1?2x)22（1）f(x)?； （2）f(x)?lg(x?x?1)； x2（3）f(x)?lgx?lg211?x； （4）； f(x)?(1?x)x21?x2???x?x(x?0),（5）f(x)?x?x?1?1； （6）f(x)??2
(x?0).??x?x2例2. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当x?0时，f(x)?x?2x?2，求函数
2f(x)的解析式，并指出它的单调区间．
【基础练习】
x4?11.给出4个函数：①f(x)?x?5x；②f(x)?；③f(x)??2x?5；④
x25f(x)?ex?e?x．
其中奇函数的有______；偶函数的有________；既不是奇函数也不是偶函数的有________． 2. 设函数f?x???x?1??x?a?为奇函数，则实数a? ．
x3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
3A.y??x,x?R B.y?sinx,x?R C.y?x,x?R
D.y?(),x?R 【反馈演练】
1．已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则（ ）
A．f?6??f?7? B．f?6??f?9? C．f?7??f?9? D．f?7??f?10? 2. 在R上定义的函数f?x?是偶函数，且f?x??f?2?x?，若f?x?在区间?1,2?是减函数则函数f?x?（ ）
A.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是增函数 B.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是减函数 C.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是增函数 D.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是减函数 3. 设????1,1,_______．
4．设函数f(x)(x?R)为奇函数，f(1)?1x2??1?,3?，则使函数y?x?的定义域为R且为奇函数的所有?的值为2?1 ,f(x?2)?f(x)?f(2),则f(5)?________．
25．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，且f(2)?0，则使得
f(x)?0的x的取值范围是 ．
ax2?1(a,b,c?Z)是奇函数．又f(1)?2，f(2)?3,求a，b，c的6. 已知函数f(x)?bx?c值；
第5 课 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质； 2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．
作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换
h?0,左移h个单位y?f(x)????????y?f(x?h)h?0,右移|h|个单位k?0,上移k个单位y?f(x)????????y?f(x)?k
k?0,下移|k|个单位②伸缩变换
0???1,伸y?f(x)?????y?f(?x)
??1,缩0?A?1,缩y?f(x)?????y?Af(x)
A?1,伸③对称变换
y轴x轴??y?f(?x) y?f(x)????y??f(x) y?f(x)??直线y?x原点y?f(x)????y??f(?x) y?f(x)?????y?f?1(x) 去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y?f(x)??????????y?|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去（12）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （13）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，
获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
【基础练习】
1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换： （1）y?2 y?2xx?1?3；
（2）y?log2x y?log2(3?x)．
2.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）y?3?1； （2）y?log2(x?2)； （3）y?3.作出下列各个函数图像的示意图：
x（1）y?log1(?x)； （2）y??()； （3）y?log1x； （4）y?x2?1．
2x2?x． x?11224. 函数f(x)?|x?1|的图象是 y 1 -1 O x -1 O y 1 1 B x
y 1 -1 O 1 C （ ）
y 1 x -1 O 1 D x 1 A 【范例解析】
例1.作出函数f(x)??2x?2x?3及f(?x)，?f(x)，f(x?2)，f(x)，f(x)的图像．
例2.设函数f(x)?x2?4x?5.
（1）在区间[?2,6]上画出函数f(x)的图像； （2）设集合A??xf(x)?5?,间的关系，并给出证明. 【反馈演练】
1．函数y?1?的图象是（ ）
x?1y
2B?(??,?2]?[0,4]?[6,??). 试判断集合A和B之
1y 1 O 1 A． y x 1 O 1 B． x y 1 －1 O C． x －1 1 O D． x
2. 为了得到函数y?3?()的图象，可以把函数y?()的图象 得到．
13x13x3．已知函数y?log1x与y?kx的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k=
44．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线x?1对称，则
2
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_________ ． 5. 作出下列函数的简图：
（1）y?x?2(x?1)； （2）y?2x?1； （3）y?log22x?1．
第二章 函数B
第6课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系． 【基础练习】
1. 已知二次函数y?x?3x?2,则其图像的开口向__ __；对称轴方程为 ；顶点
坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ，最小值为 ． 2. 二次函数y??x?2mx?m?3的图像的对称轴为x?2?0,则m?__ __，顶点坐
标为 ，递增区间为 ，递减区间为 ． 3. 函数y?2x?x?1的零点为 ．
4. 实系数方程ax?bx?c?0(a?0)两实根异号的充要条件为 ；有两正根的充要
条件为 ；有两负根的充要条件为 ． 5. 已知函数f(x)?x?2x?3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
__________． 【范例解析】
例1.设a为实数，函数f(x)?x?|x?a|?1，x?R． （1）讨论f(x)的奇偶性；
（2）若a?2时，求f(x)的最小值． 例2.函数f(x)?式． 【反馈演练】
1．函数y?x?bx?c?x??0,????是单调函数的充要条件是 ．
2222222212ax?x?a(a?R)在区间[2,2]的最大值记为g(a)，求g(a)的表达22．已知二次函数的图像顶点为A(1,16)，且图像在x轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 ．
3. 设b?0，二次函数y?ax?bx?a?1的图象为下列四图之一：
22
则a的值为 （ ）
A．1
2B．－1 C．
?1?5 2D．
?1?5 24．若不等式x?ax?1?0对于一切x?(0,)成立，则a的取值范围是 ． 5.若关于x的方程x?mx?4?0在[?1,1]有解，则实数m的取值范围是 ． 6.已知函数f(x)?2x?2ax?3在[?1,1]有最小值，记作g(a)． （1）求g(a)的表达式；
（2）求g(a)的最大值．
7. 分别根据下列条件,求实数a的值：
（1）函数f(x)??x?2ax?1?a在在[0,1]上有最大值2； （2）函数f(x)?ax?2ax?1在在[?3,2]上有最大值4． 8. 已知函数f(x)?x?a,(x?R)．
（1）对任意x1,x2?R，比较[f(x1)?f(x2)]与f(222212212x1?x2)的大小； 2（2）若x?[?1,1]时，有f(x)?1，求实数a的取值范围．
第7课 指数式与对数式
【考点导读】
1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件； 4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】
1.写出下列各式的值：(a?0,a?1) 2
(3??)2? ； 83?_______； loga1?________； logaa?________； 2.化简下列各式：(a?0,b?0)
2（1）4a3b?13?(?23a?13b?13)?
（2）(a2?2?a?2)?(a2?a?2)? 3.求值：（1）log1(83?45)?_______；
2（2）(lg2)3?3lg2?lg5?(lg5)3?________；
（3）log23?log34?log45?log56?log67?log78?_________．【范例解析】 例1. 化简求值：
1（1）若a?a?1?3，求a2?a?12及a4?a?4?4a2?a?2?8的值；
xlog23x?2?3x（2）若34?1，求2x?2?x的值．
1?1lg9?lg240例2.（1）求值：2?11?236； 3lg27?lg5（2）已知log23?m，log37?n，求log4256． 例3. 已知3a?5b?c，且
1a?1b?2，求c的值． 81?34? ；log14?____．
2 【反馈演练】 1．若102x?25，则10?x?
2．设lg321?a，则lg0.321? 3．已知函数f(x)?lg1?x，若f(a)?b，则f(?a)? ． 1?x
?2?x?1,x?0,?4．设函数f(x)??1若f(x0)?1，则x0的取值范围是
,2?x?0?x5．设已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于 6．若3?0.618，a?[k,k?1)，则k =____．
a?cx?1?7．已知函数f(x)???xc2?2?1?（1）求实数c的值； （2）解不等式f(x)＞
(0＜x＜c)，且f(c)?2(c?x＜1)9． 82?1． 8第8课 幂函数、指数函数及其性质
【考点导读】
11
1.了解幂函数的概念，结合函数y?x，y?x，y?x，y?，y?x2的图像了解它们
x
23的变化情况；
2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】
1.指数函数f(x)?(a?1)是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是 2.把函数f(x)的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到f(x)?2的图像，则f(x)?
3.函数y?0.32?x?x的定义域为_____；单调递增区间 值域 4.已知函数f(x)?a?5.要使y?()2xx1是奇函数，则实数a的取值 x4?112x?1?m的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围 2x?16.已知函数f(x)?a【范例解析】
?1(a?0,a?1)过定点，则此定点坐标为
例1.比较各组值的大小： （1）0.4?b0.2，0.2b0.2a，20.2，2；
1.6（2）a，a，a，其中0?a?b?1；
11113（3）()，()2．
23?2x?b例2.已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数,求a,b的值；
2?ax?2x例3.已知函数f(x)?a?(a?1)，求证：
x?1（1）函数f(x)在(?1,??)上是增函数； （2）方程f(x)?0没有负根． 【反馈演练】
1．函数f(x)?a(a?0且a?1)对于任意的实数x,y都有（ ）
A．f(xy)?f(x)f(y)
B．f(xy)?f(x)?f(y)
x
C．f(x?y)?f(x)f(y)
x
D．f(x?y)?f(x)?f(y)
2．设3?
1，则（ ） 7 B．－3 C．－1 A．－2 3．将y=2x的图像 ( ) 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y?log2(x?1)的图像． A．先向左平行移动1个单位 C．先向上平行移动1个单位 4．函数f(x)?a A．a?1,b?0 x?bB．先向右平行移动1个单位 D． 先向下平行移动1个单位 的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ） y 1 －1 O 1 x 第4题 B．a?1,b?0 D．0?a?1,b?0 C．0?a?1,b?0 x5．函数y?a在?0,1?上的最大值与最小值的和为3，则a的值为_____． 6．若关于x的方程4?2?m?2?0有实数根，求实数m的取值范围． 7．已知函数f(x)?xxa(ax?a?x)(a?0,a?1)． 2a?2（1）判断f(x)的奇偶性； （2）若f(x)在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围． 第9课 对数函数及其性质 【考点导读】 1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性； 2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型； 3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】 21. 函数y?log0.1(6?x?2x)的单调递增区间是 2. 函数f(x)?log22x?1的单调减区间是 【范例解析】 例1. （1）已知y?loga(2?ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是_________． （2）设函数f(x)?lg(x?ax?a)，给出下列命题： ①f(x)有最小值； ②当a?0时，f(x)的值域为R； ③当?4?a?0时，f(x)的定义域为R； ④若f(x)在区间[2,??)上单调递增，则实数a的取值范围是a??4． 则其中正确命题的序号是_____________． 例3.已知函数f(x)?【反馈演练】 1．给出下列四个数：①(ln2)；②ln(ln2)；③ln2；④ln2.其中值最大的序号是______. 2．设函数f(x)?loga(x?b)(a?0,a?1)的图像过点(2,1)，(8,2)，则a?b等于____ _． 2211?x?log2，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. x1?x3．函数y?loga(x?3)?1(a?0,a?1)的图象恒过定点A，则定点A的坐标是 x4．函数f(x)?a?loga(x?1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 5．函数f?x???个. ?4x?4,x?1的图象和函数g?x??log2x的图象的交点个数有______2x?4x?3,x?1?6．下列四个函数：①y?x?lgx； ②y?x?lgx；③y??x?lgx； ④y??x?lgx.其中，函数图像只能是如图所示的序号为______. 7．求函数f(x)?log22x?log28．已知函数f(x)?loga第6题 x1,x?[,4]的最大值和最小值． 24x?b(a?0,a?1,b?0)． x?b（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）讨论f(x)的单调性，并证明． 第10课 函数与方程 【考点导读】 1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系． 2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质． 3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】 1.函数f(x)?x?4x?4在区间[?4,?1]有_____ ___个零点． 2.已知函数f(x)的图像是连续的，且x与f(x)有如下的对应值表： 2x 1 －2.3 2 3.4 3 0 4 －1.3 5 －3.4 6 3.4 f(x) 则f(x)在区间[1,6]上的零点至少有_____个． 【范例解析】 例1.f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)?af(x)?b， 则下列关于函数g(x)的结论： ①若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称； ②若a=－1，－2 例2.设f(x)?3ax?2bx?c，若a?b?c?0，f(0)?0，f(1)?0． 求证：（1）a?0且?2?2 b??1； a（2）方程f(x)?0在(0,1)内有两个实根． 【反馈演练】 1．设f(x)?3ax?2a?1，a为常数．若存在x0?(0,1)，使得f(x0)?0，则实数a的取值范围是 ． ?x2?bx?c,x?0,2．设函数f(x)??若f(?4)?f(0)，f(?2)??2，则关于x的方程 2,x?0.?f(x)?x解的个数为 A．1 B．2 （ ） C．4 D. 3 23．已知f(x)?ax?bx?c(a?0)，且方程f(x)?x无实数根，下列命题： ①方程f[f(x)]?x也一定没有实数根；②若a?0，则不等式f[f(x)]?x对一切实数x都成立； ③若a?0，则必存在实数x0，使f[f(x0)]?x0 ④若a?b?c?0，则不等式f[f(x)]?x对一切实数x都成立． 其中正确命题的序号是 ． 24．设二次函数f(x)?x?ax?a，方程f(x)?x?0的两根x1和x2满足0?x1?x2?1．求 实数a的取值范围． x5．已知函数f(x)?log2(4?1)?kx(k?R)是偶函数,求k的值； 6．已知二次函数f(x)?ax?bx?c．若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点. 、 2第11课 函数模型及其应用 【考点导读】 1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答． 2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题． 3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力． 【基础练习】 1今有一组实验数据如下： t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律， ①v?log2t ②v?log1t 2t2?1③v? 2④v?2t?2 其中最接近的一个的序号是_____________． 2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量. (Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【范例解析】 例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)； (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg，时间单位：天) 【反馈演练】 1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________cm． 2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为__________m． 3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_______万元． 4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省? . 22 y x 第4题 第三章 三角函数A 【知识导读】 【方法点拨】 正弦定理与余弦定理 任意角 的概念 弧长与扇形 面积公式 角度制与 弧度制 三角函数的 图象和性质 任意角的 三角函数 差 角 公 式 几个三角 恒等式 和 角 公 式 倍 角 公 式 诱 导公 式 同角三角函数关系 解斜三角形及其应用 化简、计算、求值 与证明 三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点： 1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键. 2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等. 3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强. 4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用. 第1课 三角函数的概念 【考点导读】 1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算． 角的概念推广后，有正角、负角和零角；与?终边相同的角连同角?本身，可构成一个集合S???????k?360,k?Z?；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧 ?度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式l?（l为弧长）解决问题. 2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. ?r及扇形的面积公式S＝lr12角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点P(x,y)（不同于坐标原点），设OP?r（r?则?的三个三角函数值定义为：sin??，x2?y2?0） yxy,cos??,tan??． rrx从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为{?|??R,??k???2,k?Z}． 3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值． 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全、）为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、速、准确地运算很有好处. 4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念． 在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】 1． ?885化成2k???(0???2?,k?Z)的形式是 ． 2．已知?为第三象限角，则 o????、、、的三角函数值，对快6432?所在的象限是 ． 23．已知角?的终边过点P(?5,12)，则cos?= ， tan?= ． 4． tan(?3)sin5的符号为 ． cos85．已知角?的终边上一点P(a,?1)（a?0），且tan???a，求sin?，cos?的值． 【范例解析】 例1.（1）已知角?的终边经过一点P(4a,?3a)(a?0)，求2sin??cos?的值； （2）已知角?的终边在一条直线y?3x上，求sin?，tan?的值． 例2.（1）若sin??cos??0，则?在第_____________象限． （2）若角?是第二象限角，则sin2?，cos2?，sin的有____个． 例3. 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角?等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 【反馈演练】 1．若sin??cos?且sin??cos??0则?在第_______象限． 、2．已知??6，则点A(sin?,tan?)在第________象限． ?2，cos?2，tan?2中能确定是正值 3．已知角?是第二象限，且P(m,5)为其终边上一点，若cos??_______． 4．将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为 ． 5．若4????6?，且?与?2m，则m的值为42?终边相同，则?= ． 36．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________． 7．（1）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积． （2）若扇形的面积为8cm，当扇形的中心角?(??0)为多少弧度时，该扇形周长最小． 2第2课 同角三角函数关系及诱导公式 【考点导读】 1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系． 2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用． 【基础练习】 1. tan600°=______． 2. 已知?是第四象限角，tan???5，则sin??______． 123.已知cos? ?3?????，且，则tan＝______． ?????2?2?24.sin15°cos75°+cos15°sin105°=______． 【范例解析】 8，求sin(??5?)，tan(3???)的值． 171例2.已知?是三角形的内角，若sin??cos??，求tan?的值． 5例1.已知cos(???)?【反馈演练】 1．已知sin??2．“sinA?544,则sin??cos?的值为_____． 51”是“A=30o”的 ． 23．设0?x?2?,且1?sin2x?sinx?cosx，则x的取值范围是 4．已知sin??cos??5．（1）已知cos???1?3?，且≤?≤，则cos2?的值是 ． 5242cos(???)?3sin(???)1?，且????0，求的值． 4cos(??)?sin(2???)32（2）已知sin(x??646．已知tan???，求 36sin??cos?（I）的值； 3sin??2cos?1（II）的值． 22sin?cos??cos? )?15???x)?sin2(?x)的值． ，求sin(463第3课 两角和与差及倍角公式（一） 【考点导读】 1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换； 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系； 4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】 1.sin163sin223?sin253sin313? ___________． 2. 化简2cosx?6sinx?_____________． 3. 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________ ． 4.化简： oooosin??sin2??___________ ． 1?cos??cos2?【范例解析】 12； 例 .化简：（1） ??2tan(?x)sin2(?x)44??(1?sin??cos?)(sin?cos)22(0????)． （2）2?2cos?2cos4x?2cos2x?【反馈演练】 2sin2?cos2??? 1．化简 1?cos2?cos2?2．若sinx?tanx?0，化简1?cos2x?_________． ?，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则a与b的大小关系是_________． 4?4．若sin??cos??tan?(0???)，则?的取值范围是___________． 23．若0＜α＜β＜ 5．已知?、?均为锐角，且cos(???)?sin(???)，则tan?= . 6．化简： 2cos2??12tan(??)?sin(??)44?2?． 7．求证：sin2x?2cosxcos2x?2cosx． 2228．化简：sin??sin??2sin?sin?cos(???)． 22 第4课 两角和与差及倍角公式（二） 【考点导读】 1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值； 2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ． 【基础练习】 1．写出下列各式的值： （1）2sin15?cos15??_________； （3）2sin15??1?_________； 2．已知??(2（2）cos15??sin15??_________； （4）sin15??cos15??_________． 22223?,?),sin??,则tan(??)=_________． 4251?tan15??5?3．求值：（1）（2）coscos?_______；?_________． 1?tan15?12124．求值：tan10??tan20??3(tan10??tan20?)?________． 5．已知tan??2 ?3，则cos??________． 6．若 cos2?2，则cos??sin??_________． ??π?2?sin????4??【范例解析】 例1.求值：（1）sin40?(tan10??3)； （2）2sin50??sin80?(1?3tan10?)． 1?cos10?412?3?，cos(???)?，且????(,?)，????(,2?)，求51322例2.设cos(???)??cos2?，cos2?． sin2x?2sin2x317?7??x?例3.若cos(?x)?，，求的值． 1?tanx45124?【反馈演练】 3???)=__________． ，则2cos(254??2．已知tan =2，则tanα的值为_______，tan(??)的值为___________ ． 241．设??(0,?)，若sin??3．若sin????1?2??????，则cos??2??=___________． ?6?3?3?13,cos(???)?，则tan?tan?? ． 55115．求值：??_________． sin20?tan40?4．若cos(???)?6．已知cos??? ????3?3????．求cos?2???的值 ??,???4?4?522?第三章 三角函数B 第5课 三角函数的图像和性质（一） 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在 [0,2?]，正切函数在(???,)上的性质； 222.了解函数y?Asin(?x??)的实际意义，能画出y?Asin(?x??)的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】 1. 已知简谐运动f(x)?2sin(?3x??)(???2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小 正周期T?_________；初相??__________． ?－x)=1的解集为_______________________． 2?3. 函数y?Asin(?x??)(??0,??,x?R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 22. 三角方程2sin( ______________________． 4. 要得到函数y?sinx的图象，只需将函数y?cos?x?个单位． 【范例解析】 例1.已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx)． 第3题 ?????的图象向右平移__________????（Ⅰ）用五点法画出函数在区间??,?上的图象，长度为一个周期； ??22??（Ⅱ）说明f(x)?2sinx(sinx?cosx)的图像可由y?sinx的图像经过怎样变换而得到． 例2.已知正弦函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式f1(x)； （2）求与f1(x)图像关于直线x?8对称的曲线的解析式f2(x)； （3）作出函数y?f1(x)?f2(x)的图像的简图． 【反馈演练】 y x=8 2 －2 O 2 x x?1．为了得到函数y?2sin(?),x?R的图像，只需把函数y?2sinx，x?R的图像上所 36有的点 ?1①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）； 63?1②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）； 63?个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； 6?④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）． 6其中，正确的序号有___________． ③向左平移 2．为了得到函数y?sin(2x?单位长度． 3．若函数f(x)?2sin(?x??)，x?R（其中??0，???6)的图象，可以将函数y?cos2x的图象向右平移____个 ?）的最小正周期是?，且2f(0)?3，则??______；??__________． 4．在?0,2??内，使sinx?cosx成立的x取值范围为____________________． 5．下列函数： ①y?sin?x?????6??； ②y?sin?2x????????； 6?③y?cos?4x?????3??； ④y?cos?2x????． 6?第5题 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_________． 6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y?Asin(?x??)?b （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式． 第6题 7．如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，?>0，≤0?≤)的图象与y轴相交于点 π2(0，3)，且该函数的最小正周期为?． （1）求?和?的值； 0?，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点， （2）已知点A?，3?π?，x0??，π?时，求x0的值． 2?2??π?2??y 3 P x 当y0? O A 第7题 第6课 三角函数的图像和性质（二） 【考点导读】 1.理解三角函数y?sinx，y?cosx，y?tanx的性质，进一步学会研究形如函数、 y?Asin(?x??)的性质； 2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】 1.写出下列函数的定义域： （1）y?sin（2）y?x的定义域是______________________________； 3sin2x的定义域是____________________． cosx22．函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________． 3．函数 （fx）?sin（x?4. 函数y=sin(2x+ ??)的图象关于点_______________对称． 3??5. 已知函数y?tan?x 在（－，）内是减函数，则?的取值范围是______________． 22【范例解析】 例1.求下列函数的定义域： （1）y?2的最小正周期是_______． ）?sin（x?）44 ?sinx（2）y?2?log1x?tanx． ?2sinx?1；tanx2例2．求下列函数的单调减区间： （1）y?sin(?3?2x)； （2）y?2cosx； ?xsin(?)42例3．求下列函数的最小正周期： （1）y?5tan(2x?1)；（2）y?sin?x?【反馈演练】 1．函数y?sinx?cosx的最小正周期为 _____________． 2．设函数f(x)?sin?x?___________________． 42???????sinx???? ． 3??2??????(x?R)，则f(x)在[0,2?]上的单调递减区间为3? 3．函数f(x)?sinx?3cosx(x?[??,0])的单调递增区间是________________． 4．设函数f(x)?sin3x?|sin3x|，则f(x)的最小正周期为_______________． 5．函数f(x)?cosx?2cos22x在[0,?]上的单调递增区间是_______________． 2π??1?2cos?2x??4??6．已知函数f(x)?． π??sin?x??2??（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）若角?在第一象限且cos??3，求f(?)． 57． 设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的一条对称轴是直线x?（Ⅰ）求?； （Ⅱ）求函数y?f(x)的单调增区间； （Ⅲ）画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像 ?8． 第7课 三角函数的值域与最值 【考点导读】 1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题； 2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法． 【基础练习】 1.函数y?sinx?3cosx在区间[0,?2]上的最小值为 ． 2.函数f(x)?cosx?12cos2x(x?R)的最大值等于 ． 3.函数y?tan(?2?x)(??4?x??4且x?0)的值域是___________________． 4.当0?x??2时，函数f(x)?1?cos2x?8sin2xsin2x的最小值为 ． 【范例解析】 例1.（1）已知sinx?siny?13，求siny?cos2x的最大值与最小值． （2）求函数y?sinx?cosx?sinx?cosx的最大值． 例2.求函数y?2?cosxsinx(0?x??)的最小值． 例3.已知函数f(x)?2sin2??π?4?x???ππ???3cos2x，x???4，2??． （I）求f(x)的最大值和最小值； （II）若不等式f(x)?m?2在x???π，π???42?上恒成立，求实数m的取值范围． 【反馈演练】 1．函数y?2sin(??x)?cos(?36?x)(x?R)的最小值等于___________． x??cos22．当0?x4时，函数f(x)?cosxsinx?sin2x的最小值是_____________． 3．函数y?sinxcosx?2的最大值为_______，最小值为________. 4．函数y?cosx?tanx的值域为 . 32 5．已知函数f(x)?2sin?x(??0)在区间??于_________． ????,?上的最小值是?2，则?的最小值等?34?6．已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在区间?，?上的最小值和最大值． 84?π3π??? 第８课 解三角形 【考点导读】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】 1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ . 2．在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，则?B的大小是______________. 3．在△ABC中，若tanA?【范例解析】 1o，C?150，BC?1，则AB? 3 ． cosA?例1. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知a?c?20，C?2A， （1）求 3． 4c的值；（2）求b的值． a2222例2.在三角形ABC中，已知(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)，试判断该三角形的形状． 例3.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=?，∠ABC=?. A （1）证明：sin??cos2??0； （2）若AC=3DC，求?． 【反馈演练】 1．在?ABC中，AB?β B α 3,A?450,C?750,则BC =_____________． 例3 D C 2．?ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c?2a，则cosB?_____． 3．在?ABC中，若2a?b?c，sinA?sinBsinC，则?ABC的形状是_______三角形． 22，则sinA?cosA= ． 345．在?ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??． 54．若?ABC的内角A满足sin2A?（Ⅰ）求sinB的值； （Ⅱ）求sin?2B? ?????的值． 6?6．在?ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值． 7．在?ABC中，tanA?13，tanB?． 45（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若?ABC最大边的边长为17，求最小边的边长． 第9课 解三角形的应用 【考点导读】 1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力． 【基础练习】 1．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m． 2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好 3km，那么x的值为_______________ km． 3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60o，行驶4h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15o，这时船与灯塔的距离为 km． 4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知?ABD为边长等于a的正三角形，当目标出现于C时，测得?BDC?45，?CBD?75，求炮击目标的距离AC C 【范例解析】 例 .如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，北 当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 【反馈演练】 1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45?和30?，而且 ooooD B A 第4题 120o A2 105o A 1甲 例1（1） B2 B1 乙 两条船与炮台底部连线成30?角，则两条船相距____________m． 2．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20?，现要将倾斜角改为10?，则坡底要伸长_______km． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30?方向，后来船沿南偏东60?方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里． 4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且 ?ABC?120?，则第三条边AC的最小值是____________cm． 5．设y?f(t)是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0?t?24.下表是该港口某一天 从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1 经长期观察，函数y?f(t)的图象可以近似地看成函数y?k?Asin(?t??)的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ） A．y?12?3sinC．y?12?3sin?6t,t?[0,24] t,t?[0,24] B．y?12?3sin(?6t??),t?[0,24] ?12D．y?12?3sin(t?),t[0,24] 122?? 第四章 平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 向量的概念 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件向量 向量的运算 向量的运用 Ⅱ.复数的知识结构表 数系的扩充与 复数的引入 复数的概念 复数的运算 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁， 在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一 平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数 问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方 法. 数系的扩充 第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若a?b，则a?b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则AB?DC是四边形为平行四边形的充要条件；③若a?b,b?c，则a?c；④a?b的充要条件是 a?b且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c。其中，正确命题材的序号是 uuuruuuruuuruuur2. 化简AC?BD?CD?AB=（ ） 3.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为 4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点， uuuruuuruuur若OA＝a，OB＝b，则OP＝ ， uuurOQ＝ (用a、b表示) b a B Q P A 第4题 O 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F， uuuruuuruuurAB?DC?2EF求证：. D C E F A B uuuruuuruuuruuuruuurOA,OB例2.已知不共线，OP?aOA?bOB,求证：A,P,B三点共线的充要条件是a?b?1 【反馈练习】 1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（ ） A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b| C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b| uuur1uuuruuuruuur2.设四边形ABCD中，有DC?AB,AD?BC则这个四边形是（ ） 2A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： uuuruuuruuuruuuruuuruuur①AB?BC?CD， ②DB?AC?BD， ③uuuruuuruuuruuur?OA?OC?OB?CO。 4.设x为未知向量， a、b为已知向量，x满足方程2x?(5a+3x?4b)+则x= （用a、b表示） 1a?3b=0， 2ruuuruuur uuuOA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，5.在四面体O-ABC中，E为AD的中点，则OE= （用a，b，c表示） 6如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM, uuuruuuruuuuruuuruuuur线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设OA?a,OB?b,试用a,b表示OM,ON,MN 【考点导读】 1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式. 4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题. 【基础练习】 1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么a?3b? 2.在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中， 0第6题 第2课 向量的数量积 uuuruuurAB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值个数为 个 3. 若a?1,b?2，a与b的夹角为60，若(3a+5b)?(ma?b)，则m的值为 4.若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为 【范例导析】 例1.已知两单位向量a与b的夹角为120，若c?2a?b,d?3b?a，试求c与d的夹角的余弦值。 例2.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：(a?b)⊥c；（2）若|ka?b?c|?1(k?R)，求k的取值范围. 00例3.如图，在直角△ABC中，已知BC?a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 PQ与BC的夹角?取 何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值 【反馈练习】 1.已知向量a,b满足a=1,b?4,且ag b?2,则a与b的夹角为 2.如图，在四边形ABCD中，|AB|?|BD|?|DC|?4,AB?BD?BD?DC?0, ???????DC |AB|?|BD|?|BD|?|DC|?4，则(AB?DC)?AC的值为 3.若向量a,b满足a=b=1,a,b的夹角为60°，则aga+agb=4.若向量a=1,b?2,且a-b?2,则a+b? 5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|=21 ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b) 6.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. AB???????第2题 第3课 向量的坐标运算 【考点导读】 1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算. 3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 【基础练习】 1若OA=(2,8)，OB=(?7,2)，则 1AB= 3 2平面向量a,b中，若a?(4,?3)，b=1，且a?b?5，则向量b= uuuruuuruuur3.已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三点共线，则k= 4.已知平面向量a?(3,1)，b?(x,?3)，且a?b，则x? 【范例导析】 例1.平面内给定三个向量a??3,2?,b???1,2?,c??4,1?，回答下列问题： （1）求满足a?mb?nc的实数m,n； （2）若?a?kc?//?2b?a?，求实数k； （3）若d满足?d?c?//?a?b?，且d?c?5，求d 例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求AD及点D的坐标、 例3．已知向量a??cos??3x3x?xx?????x?,sin,b?cos,?sin,且????0,2? 22?22????求（1）a?b及a?b；（2）若f?x??a?b?2?a?b的最小值是?【反馈练习】 1．已知向量a?(?5,6)，b?(6,5)，则a与b （ ） 3，求?的值。 2A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 ?17??71?,?,b=?,?的夹解相等，且模为1的向量是 ?22??22? uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur3.已知向量OA?(4,6),OB?(3,5),且OC?OA,AC//OB,则向量OC等于 2.与向量a=? 4.已知向量a?(1,2),b?(?2,?4),|c|? 5,若(a?b)?c?5,则a与c的夹角为 25.若A(1,2),B(2,3),C(?2,5)，试判断则△ABC的形状____ _____ 6.已知向量a?(cos?,sin?)，向量b?(3,?1)，则2a?b的最大值是 7.若a,b是非零向量且满足(a?2b)?a，(b?2a)?b ，则a与b的夹角是 8.已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c|?25，且c//a，求c的坐标； （2）若|b|=9.已知点O是 5,且a?2b与2a?b垂直，求a与b的夹角?. 2uuuruuuruuur设OA?a,OB?b,OC?c,且?ABC内的一点，?AOB?150，?BOC?90，00a?2,b?1,c?3,试用a,和b表示c. 第4课 向量综合应用 【考点导读】 1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不 等式、三角函数、数列等知识的综合问题. 2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用. 【基础练习】 1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为 2.已知a＝1，b＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角的余弦值为 【范例导析】 例1.已知平面向量a＝(3，－1)，b＝( 13, ). 22(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）； (2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。 分析:利用向量知识转化为函数问题求解. rrro例2.已知两个力（单位：牛）f1与f2的夹角为60，其中f1?，某质点在这两个（2，0）力的共同作用下，由点A（1，1）移动到点B（3，3）（单位：米） r（1） 求f1； rr（2） 求f1与f2的合力对质点所做的功 【反馈练习】 1.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足 uuuruuuruuurOC??OA??OB，其中?，?∈R且?+?=1，则点C的轨迹方程为 2.已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是 3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中O为原点,则实数a的值为 4.已知向量a=(cos?,sin?)，向量b=(3,?1)，则|2a－b|的最大值是 uuuruuuruuur5．如图，AB?(6,1),BC?(x,y),CD?(?2,?3) ， uuuruuur（1）若BC∥DA，求x与y间的关系； uuuruuur（2）在（1）的条件下，若有AC?BD，求x,y的值及四边形ABCD的面积. 第5题 第5课 复数的概念和运算 【考点导读】 1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性. 2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义. 【基础练习】 1.设a、b、c、d?R，若 a?bi为实数，则 c?di2.复数z?1的共轭复数是 1?i i＋(1＋3i)2对应的点位于第 象限 1?i234.若复数z满足方程z?2?0，则z? 3.在复平面内，复数【范例导析】 m2?m?6?(m2?2m?15)i（1）是实数？（2）是虚数？例 .m取何实数时，复数z?（3） m?3是纯虚数？ 【反馈练习】 1.如果复数(m?i)(1?mi)是实数，则实数m? 2.已知复数z满足（3＋3i）z＝3i，则z＝3.若复数Z= 21?i2，则Z 100+Z 50+1+i的值为 4.设x、y为实数，且 xy5，则x+y= . ??1?i1?2i1?3i 第五章 数列 【知识图解】 通项 一般数列 前n项 和 函 数 数 列 等差数列 通项公式 前n项和公式 中项性质 特殊数列 通项公式 等比数列 前n项和公式 中项性质 【方法点拨】 1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证． 2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧． 3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化． 4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等． 5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解． 第1课 数列的概念 【考点导读】 1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数； 2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系； 3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n项和的问题。 【基础练习】 1.已知数列{an}满足a1?0,an?1?an?33an?1(n?N*)，则a20= 。 分析:由a1=0,an?1?an?33an?1(n?N?)得a2??3,a3?3,a4?0,?????? 由此可知: 数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得规律为： 2．在数列{an}中，若a1?1，an?1?an?2(n?1)，则该数列的通项an? 。 a1(3n?1)(n?N*) ，3．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn?且a4?54，则a1?____ __. 24．已知数列{an}的前n项和Sn??【范例导析】 2例1．设数列{an}的通项公式是an?n?8n?5，则 n(5n?1)，则其通项公式为 ． 2（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象； （3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？ 例2．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,列{an}的通项公式。 *例3．已知数列｛an｝满足a1?1,an?1?2an?1(n?N) Sn)(n?N?)均在函数y＝3x－2的图像上,求数n（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足41【反馈演练】 b?1b2?14...4bn?1?(an?1)bn.(n?N*),证明：{bn}是等差数列; 1．若数列?an?前8项的值各异，且an?8?an对任意n∈N都成立，则下列数列中可取遍?an? * 前8项值的数列为 。 （1）?a2k?1? （2）?a3k?1? （3）?a4k?1? （4）?a6k?1? 2．设Sn是数列?an?的前n项和，且Sn=n，则?an?是 。 2 3．设f（n）= 1111（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等???????n?1n?2n?32n于。 4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn= n2 （21n－n－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超90过1.5万件的月份是 。 5．在数列{an}中，a1?1,a2?2?3,a3?4?5?6,a4?7?8?9?10,则a10? 。 n2?n?1(n?N?)， 6．数列?an?中，已知an?32（1）写出a10，an?1，an2； （2）79是否是数列中的项？若是，是第几项？ 3 第2课 等差、等比数列 【考点导读】 1． 掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2． 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3． 注意函数与方程思想方法的运用。 【基础练习】 1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首项a1= ，公差d= 。 2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是，第2项是 。 15，aaa?80，则3．设a是公差为正数的等差数列，若a?a?a? ?n?123123a11?a12?a13? 。 4．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 。 【范例导析】 例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项。 （2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 。 *例2．（1）已知数列{log2(an?1)}n?N)为等差数列，且a1?3,a3?9. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明 111???????1. a2?a1a3?a2an?1?an2例3．已知数列?an?的首项a1?2a?1（a是常数，且a??1），an?2an?1?n?4n?22（n?2），数列?bn?的首项b1?a，bn?an?n（n?2）。 （1）证明：?bn?从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设Sn为数列?bn?的前n项和，且?Sn?是等比数列，求实数a的值。 【反馈演练】 1．已知等差数列?an?中，a2?7,a4?15，则前10项的和S10＝ 。 2．在等差数列?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6＝ 。 3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 。 4．如果?1,a,b,c,?9成等比数列，则b? ， ac? 。 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由. 第3课 数列的求和 【考点导读】 对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有： （1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式 （2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在 一起，再运用公式法求和（如：通项中含(-1)因式，周期数列等等） （3）倒序相加法：如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方 法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2 （4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。 （5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和。 【基础练习】 1．已知公差不为0的正项等差数列｛an｝中,Sn为前n项之和,lga1、lga2、lga4成等差数列，若a5=10，则S5 = 。 2．已知数列｛an｝是等差数列,且a2=8,a8=26,从｛an｝中依次取出第3项,第9项,第27项…, n 第3项,按原来的顺序构成一个新的数列｛bn｝, 则bn=__ ___ 3．若数列?an?满足：a1?1,an?1?2an,n?1，2，3….则a1?a2???an? . 【范例导析】 例1.已知等比数列{an}中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且 na1?64,公比q?1 （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设bn?log2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn. *例2．数列{an}前n项之和Sn满足：t?(Sn?1?1)?(2t?1)Sn(n?N,t?0) （1） 求证：数列{an}是等比数列(n?2)； （2） 若数列{an}的公比为f(t),数列{bn}满足：b1?1,bn?1?f(项公式； 1)，求数列{bn}的通bn（3） 定义数列{cn}为cn?1，求数列{cn}的前n项之和Tn。 ， bnbn?1例3．已知数列?an?满足a1?an?11(n?2,n?N)． ，an?n4??1?an?1?2（Ⅰ）求数列?an?的通项公式an； （Ⅱ）设bn?（Ⅲ）设cn?ansin1an2，求数列?bn?的前n项和Sn； (2n?1)??，数列?cn?的前n项和为Tn．求证：对任意的n?N，2Tn?4． 7Sn}的前10n【反馈演练】 *1．已知数列{an}的通项公式an?2n?1(n?N)，其前n项和为Sn，则数列{项的和为 2(n?2k?1)*2．已知数列{an}的通项公式an?{2n?1(n?2k)(k?N)，其前n项和为Sn，则 n?1S9? 。 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，则数列{an}的通项公式为 。 *4．已知数列{an}中，a1?1,且有(2n?1)an?(2n?3)an?1(n?N,n?2)，则数列{an}的 通项公式为 ，前n项和为。 * 22 5．数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N都有an＞0, 且(n+1)an+an·an+1－nan+1=0， n－1 又知数列{bn}的通项为bn=2+1. (1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn； (2)求数列{bn}的前n项和Tn； * 6．数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn; (3)设bn= 1** (n∈N),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N),是否存在最大的整数m，使得对 n(12?an)任意n∈N均有Tn＞ * m成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 32第4课 数列的应用 【考点导读】 1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。 【基础练习】 1．若数列?an?中，a1?1，且对任意的正整数p、q都有ap?q?apaq，则3an? . 2．设等比数列?an?的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为 。 3．已知等差数列?an?的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2? 【范例导析】 例1．已知正数组成的两个数列{an},{bn}，若an,an?1是关于x的方程 2x2?2bnx?anbnbn?1?0的两根 （1）求证：{bn}为等差数列； （2）已知a1?2,a2?6,分别求数列{an},{bn}的通项公式； （3）求数{bn}的前n项和sn。 2n例2．设数列?an?,?bn?满足a1?b1?6,a2?b2?4,a3?b3?3 ，且数列 ?an?1?an??n?N??是等差数列，数列?bn?2??n?N??是等比数列。 （I）求数列?an?和?bn?的通项公式； （II）是否存在k?N*，使ak?bk??0,?，若存在，求出k，若不存在，说明理由。 【反馈演练】 1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5?2,S10?6，则a16?a17?a18?a19?a20? ??1?2?Tn为数列3．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7?7,S15?75，｛ Sn｝n的前n项和，则Tn? 4.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2?3,4S2?S4. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证数列{2n}是等比数列； （3）求使得Sn?2?2Sn的成立的n的集合. 5.已知数列?an?的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n?N*，满足关系 aSn?2an?2. 证明：?an?是等比数列； 第六章 不等式 【知识图解】 【方法点拨】 不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围1，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点. 1. 掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式 求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。 2. 一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不 等式与相应函数、方程的联系和相互转化。 3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相 关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。 应用 二元一次不等式组 解法 基本不等式 应用 证明 不等式一元二次不等式 应用 几何意义 第1课 基本不等式 【考点导读】 1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。 2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。 【基础练习】 a2?b21.“a>b>0”是“ab<”的 （分条件、充分必要条件、既不充分 2也不必要条件) 2.a?b?1,b?c?2,c?a?2,则ab?bc?ca的最小值为 ?3.已知x,y?R，且x?4y?1，则x?y的最大值为 4.已知lgx?lgy?1，则【范例导析】 例1.已知x?22222252?的最小值是 xy51，求函数y?4x?2?的最大值. 44x?5ab+=1，求x+y的最小值。 xy例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且 （2） 已知x?0，y?0，且x?2y?xy?30，求xy的最大值． 【反馈练习】 21.设a＞1,且m?loga(a?1),n?loga(a?1),p?loga(2a),则m,n,p的大小关系为 2.已下列四个结论： ?①若a,b?R,则b?a?2b?a?2； ②若x,y?R,则lgx?lgy?2lgxlgy； abab③若x?R,则x?4??2x?4??4； ④若x?R,则2x?2?x?22x?2?x?2。 ??xx其中正确的是 3.已知不等式(x?y)(?1xa)?9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 yx2?y24.（1）已知：x?y?0，且：xy?1，求证： ?22，并且求等号成立的条件． x?y（2）设实数x，y满足y+x2=0，0 第2课 一元二次不等式 【考点导读】 1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。 2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题. 【基础练习】 1.解不等式： 123x?x??0 22123（3）?x?1??x?3??2x2?x?2（4）?4??x?x???2 22（1）?3x?4x?4?0 （2） 22. 函数y?log1(x2?1)的定义域为 2 3..二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6 则不等式ax2+bx+c>0的解集是 4.若不等式x?bx?c?0的解集是{xx?3或x??1}，则b=__ _ c=______. 【范例导析】 例.解关于ｘ的不等式【反馈练习】 1.若关于x的不等式ax?ax?a?1?0,的解集为R，则a的取值范围是 2.不等式ax?bx?2?0解集为?3.若函数f(x) = 222a(x?1)?1(a?1) x?211?x?，则ab值分别为 232x2?2ax?a?1的定义域为R，则a的取值范围为 4.已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求 实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集. 第3课 线性规划 【考点导读】 1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平 面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组. 2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究 代数问题的思想. 【基础练习】 1.原点（0,0）和点P（1,1）在直线x?y?a?0的两侧，则a的取值范围是 2. 设集合A则A所表示的平面区域(不含边＝(x,y)|x,y,1?x?y是三角形的三边长，界的阴影部分)是( ) 1y??1y1y1y12121212o122 A B C D 1xo121xo121xo11x 3.下面给出四个点中，位于?Ａ．(0，2) ?x?y?1?0，表示的平面区域内的点是（ ） x?y?1?0?Ｃ．(0，?2) Ｄ．(2，0) Ｂ．(?2，0) 4.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示 为 ?y?x?1 5.在坐标平面上，不等式组?【范例导析】 所表示的平面区域的面积为 y??3x?1? ?x?4y??3?例1.设x,y满足约束条件?3x?5y?25,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。 ?x?1??x?y?2?0?例2.已知?x?y?4?0， ?2x?y?5?0?（1） 求z?x?2y的最大和最小值。 （2） 求z? y 的取值范围。 x 22（3） 求z?x?y的最大和最小值。 例3．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 【反馈练习】 ?x?y?5≥?，?1.不等式组?y≥a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 ?0≤x≤2??x?2?0,?2.已知点P（x，y）在不等式组?y?1?0,表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值 ?x?2y?2?0?范围是 ?x?y?5,?3x?2y?12,?3.设x、y满足约束条件?则使得目标函数z?6x?5y的最大的点(x,y)是 0?x?3,???0?y?4.?x?y≥2，?4.已知实数x，y满足?x?y≤2，则z?2x?y的取值范围是 ?0≤y≤3，?5.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值. 第4课 不等式综合 【考点导读】 能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1?1?1.若函数f?x??x?x?2,gx???????x?2?2?是 x2?2?x?0?，则f?x?与g?x?的大小关系 2.函数f?x??2?a2x?a在区间?0,1?上恒为正，则a的取值范围是 3.当点?x,y?在直线x?3y?2?0上移动时，z?3?27?1的最小值是 xy??4.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是 【范例导析】 例1、已知集合P??,2?，函数y?log2ax?2x?2的定义域为Q ?2?（1）若P?Q??，求实数a的取值范围。 ?1??2?（2）若方程log2ax?2x?2?2在?,2?内有解，求实数a的取值范围。 2例2.甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度vkm/h的．．．．．．．． 平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元． （1）把全程运输成本y元表示为速度vkm/h的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【反馈练习】 2xx1.设0?a?1，函数f(x)?loga(a?2a?2)，则使f(x)?0的x的取值范围是 ?2??1???2.如果函数y?log1(x?2x?3)的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____ 323.若关于x的不等式x?4x?m对任意x?[0,1]恒成立，则实数m的取值范围为 24已知二次函数f (x)=ax?bx?1?a,b?R,且a?0?,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2．如 2果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1． 第七章 立体几何初步 【知识图解】 构成几何体 的基本元素 空间几何体 柱、锥、台、球的特征 表面积与体积 直观图与三视图的画法 直观认识线面平行与垂中心投影与平行投影 平面的基本性质 点、线、面之间的位置关系 确定平面的位置关系 直线与直线的平行关系 空间中的平行关系 直线与平面平行的判断及性质 平面与平面平行的判断及性质 直线与直线的垂直关系 空间中的垂直关系 直线与平面垂直的判断及性质 平面与平面垂直的判断及性质 【方法点拨】 立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点： 1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。 2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。 3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。 4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。 第1课 空间几何体 【考点导读】 1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。 【基础练习】 1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 个面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面。 2.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 。 AF?G?DE B?C ① ② ③ ④ （2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的 （要求：把可能的图的序号都填上）. ． 【范例导析】 例1．下列命题中，假命题是 。（选出所有可能的答案） （1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 （2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 （3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 （4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体 例2．?A?B?C?是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若?A?B?C?的面积为 3，那么△ABC的面积为_______________。 例3．（1）画出下列几何体的三视图 （2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状 【反馈演练】 1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 R= r 3.ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC4． 绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 4间四边形ABCD中，AC?8，BD?12，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA边上的点，且EFGH为平行四边形，则四边形EFGH的周长的取值 范围是_ 5棱锥P?ABC中，PC?x，其余棱长均为1。 （1）求证：PC?AB； P （2）求三棱锥P?ABC的体积的最大值。 A M 6知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线. （1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积。 C B 第2课 平面的性质与直线的位置关系 【考点导读】 1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。 2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。 3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。 【基础练习】 1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 。 （1）∵A??,B??，∴AB??． （2）∵a??,a??，∴????a． （3）∵A?a,a??，∴A??． （4）∵A?a,a??，∴A??． 2．下列推断中，错误的是 。 （1）A?l,A??,B?l,B???l?? （2）A,B,C??,A,B,C??，A,B,C不共线??,?重合 （3）A??,A??,B??,B?????（4）l??,A?l?A?? ??AB 3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ） （4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） A1B1ABCD1C1ED4．如右图，点E是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱DD1的中点，则过点E与直线AB和B1C1都相交的直线的条数是： 条 5．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A?a，D?a，B?b，E?c 求证：BD和AE是异面直线 证明：假设__ 共面于?，则点A、E、B、D都在平面_ _内 ?A?a，D?a，∴__?γ. ?P?a，∴P?__. ?P?b，B?b，P?c，E?c ∴_ _??， __??，这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 【范例导析】 O 例1．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量 YD A B C G H E F uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuurOE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD， （1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC//平面EG． 例2．已知空间四边形ABCD. (1)求证：对角线AC与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状; (3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段. 例3．如图，已知E，F分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且 AE?C1F，求证：四边形EBFD1是平行四边形 D1A1B1C1FEAD CB例4：如图，已知平面?,?，且?I??AB,PC??,PD??,C,D是垂足． （Ⅰ）求证：AB?平面PCD； （Ⅱ）若PC?PD?1,CD? 【反馈演练】 1．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ） （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60o （ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ） 2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 个。 3．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 。 2，试判断平面?与平面?的位置关系，并证明你的结论． ?CPB?DA 4．如图，已知?I??l,A?l,B?l,（A,B不重合） 过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。 求证：AC和BD是异面直线。 C B β A D α l 第3课 空间中的平行关系 【考点导读】 1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1．若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 。 2．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行. ④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 个。 ． 3．对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 。 4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥r，b∥r?a∥b；③α∥c，β∥c?α∥β； ④α∥r，β∥r?α∥β；⑤a∥c，α∥c?a∥α；⑥a∥r，α∥r?a∥α． 其中正确的命题是 。 【范例导析】 例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形． 求证：AB∥平面EFG． 例2． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN. 求证:MN∥平面AA1B1B. A 【反馈演练】 1．对于平面?和共面的直线m、n,下列命题中真命题是 。 （1）若m??,m?n,则n∥? （2）若m∥?,n∥?,则m∥n （3）若m??,n∥?,则m∥n （4）若m、n与?所成的角相等，则m∥n 2. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 。 （1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b （2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b （3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面 （4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面 3．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是 。 （1）若a∥M，b∥M，则a∥b （2）若a∥M，b⊥a，则b⊥M （3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，则M⊥N 4．“任意的a??，均有a//?”是“任意b??，均有b//?”的 。 5.在正方体AC1中，过A1C且平行于AB的截面是 . 6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为 。 7. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点， 求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 8．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA?43， 求异面直线PA与MND1A1 D N E F B C1 B1M C 所成的角的大小 PHDABNCM9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。 DMCPAFNEBQ第4课 空间中的垂直关系 【考点导读】 1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。 2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。 【基础练习】 1．“直线l垂直于平面?内的无数条直线”是“l⊥?”的 条件。 2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 。 3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 。 4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系 。 5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，写出过顶点A的一个平面 ，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。 【范例导析】 例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD. P F D E C A B 例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ， M 是EA 的中点， 求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA。 例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点． （1） 求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时， 会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。 【反馈演练】 1．下列命题中错误的是 。 （1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线 （2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直 （3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面 （4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 2．设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若 x?z，且y?z,则x//y”为真命题的是 （填所有正确条件的代号） ①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面 ③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线 ⑤x，y，z为直线 3．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有_____个。 4．若AB的中点M到平面?的距离为4cm，点A到平面?的距离为6cm，则点B到平面? 的距离为________cm。 5．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。 命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 6．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命．．题： 。 7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=2a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。 （1）求证：四边形EFCD为直角梯形； （2）设SB的中点为M，当 CD的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明. ABS EDA FMCB第八章 直线和圆的方程 【知识图解】 方程形式 圆 位置关系 空间直角坐标系 点与直线位置关系 标准方程 一般方程 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 直线与圆的 方 程 直 线 方程形式 斜截式 两点式 截距式 一般式 平行 两条直线位置关系 相交 垂直 直线斜率与倾斜角 点斜式 点 中点坐标 两点间距离 点到直线的距离 【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质． 5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课 直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】 1. 直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角范围是 2. 过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 4.无论k取任何实数，直线?1?4k?x??2?3k?y??2?14k??0必经过一定点P，则P的坐标为 【范例导析】 例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3） （1）求直线AB的斜率k； （2）求直线AB的方程； （3）已知实数m??????3?1,3?1?，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 3?例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点. (1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程. 例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程. 【反馈练习】 1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程 xy+＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程yab＝kx+b表示，其中正确的是 2.设直线l的方程为2x??k?3?y?2k?6?0?k?3?,当直线l的斜率为-1时，k值为____,当直线l 在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为 3.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为?，且sin?+cos?=0，则a,b满足的关系式为 4.若直线l：y＝kx?3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取 1，则c的值为 c值范围是 5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为 2 6．若直线(m─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是 7.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程 8.一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍； （2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点） 第2课 两条直线的位置关系 【考点导读】 1.掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的交点，掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式. 2.高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用，有时考察单一知识点,有时也和函数三角不等式等结合，题目难度中等偏易. 【基础练习】 1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 2.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为 3.若三条直线2x?3y?8?0,x?y?1?0和x?ky?k? 【范例导析】 例1.已知两条直线l1:x+m2y+6=0, l2:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时, l1与l2 （1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 例2.已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。 【反馈练习】 1.已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线y?1x，则l的方程是 21?0相交于一点，则k的值等于 22.若直线ax?(1?a)y?3与(a?1)x?(2a?3)y?5互相垂直，则 a? 3.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是_____. 4.已知0????2，且点(1,cos?)到直线xsin??ycos??1的距离等于 1，则?等于 45. 经过直线2x?3y?7?0与7x?15y?1?0的交点，且平行于直线x?2y?3?0的直线方程是 6.线l1过点A(5,0)，l2过点B(0,1)，l1∥l2，且l1与l2之间的距离等于5，求l1与l2的方程。 7.已知ABC的三边方程分别为AB:4x?3y?10?0，BC:y?2?0，CA:3x?4y?5?0. 求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程. 第3课 圆的方程 【考点导读】 1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主. 【基础练习】 1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为 2.过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是 3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x?4y?4?0与圆C相切，则圆C的方程为 4.圆x?y?4x?2y?c?0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c值为___ 225.如果方程x2?y2?Dx?Ey?F?0?D2?E2?4F?0?所表示的曲线关于直线y?x对称，那么必有____ 【范例导析】 【例1】 设方程x?y?2(m?3)x?2(1?4m)y?16m?9?0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。 分析:配成圆的标准方程再求解 变式1：方程ax?ay?4(a?1)x?4y?0表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。 例2 求半径为4，与圆x?y?4x?2y?4?0相切，且和直线y?0相切的圆的方程． 【反馈练习】 1.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是 2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是 3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是 4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是 5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是 6.方程x?1?1?(y?1)表示的曲线是_ 7.圆(x?3)?(y?4)?2关于直线x?y?0的对称圆的方程是 8.如果实数x、y满足等式?x?2??y?3，那么 222222222222422y的最大值是 x9.已知点A(?1,1)和圆C:(x?5)?(y?7)?4，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C 的最短路程为______ 10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程; 11. 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程 第4课 直线与圆的位置关系 【考点导读】 能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用. 【基础练习】 1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是 2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于 3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 . 【范例导析】 例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）. （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 例2.已知圆O: x?y?1，圆C: (x?2)?(y?4)?1，由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.求实数a、b间满足的等量关系. . 例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y??x的距离等于2. 求圆C的方程. 例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y= 3 x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切. 3 y l A O B l2 例4 l1 x 2222(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程； (2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标． 【反馈练习】 1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为 2.已知直线l过点，当直线l与圆x?y?2x有两个交点时，其斜率k的取值范围（?2，0）是 3.设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为 4.圆(x-3)+(y-3)=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为 5.点P从(1,0)出发,沿单位圆x?y?1逆时针方向运动 222 2 222?弧长到达Q点,则Q的坐标为 3 226.若圆x?y?mx?221?0与直线y??1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 47.设P为圆x?y?1上的动点，则点P到直线3x?4y?10?0的距离的最小值为 . ?x?0?2228.已知平面区域?y?0恰好被面积最小的圆C:(x?a)?(y?b)?r及其内 ?x?2y?4?0?部所覆盖． (1)试求圆C的方程. (2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A,B.满足CA?CB,求直线l的方程. 第九章 圆锥曲线 【知识图解】 圆 锥曲 线 【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力. 3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 抛物线 几何性质 定义 双曲线 几何性质 定义 标准方程 标准方程 圆锥曲线应用 椭圆 几何性质 定义 标准方程 第1课 椭圆A 【考点导读】 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆 简单的几何性质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处 理一些简单的实际问题. 【基础练习】 x2?y2?1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆3外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 2.椭圆x?4y?1的离心率为 3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆 的标准方程是 22x2y21??1的离心率e?，则k的值为 4. 已知椭圆 k?892【范例导析】 例1.（1）求经过点(?,)，且9x?4y?45与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 （2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。 352222x2y2??1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭例2.点A、B分别是椭圆 3620圆上，且位于x轴上方，PA?PF。 （1）求点P的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。 【反馈练习】 1.如果x?ky?2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 22x2y23.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|?123是|PF2|的 倍 10x2y2??1的离心率e?4.若椭圆,则m的值为 55mx2y2??1的右焦点到直线y?3x的距离为 5.．椭圆43x2y2??1具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是 6.与椭圆43x2y2??1上的点到直线x?2y?2?0的最大距离是 7.椭圆1648. 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 4525和，过33P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 第2课 椭圆B 【考点导读】 1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题; 2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】 x2y2x2y2??1?m?6?与曲线??1?5?n?9?的（ ） 1.曲线 10?m6?m5?n9?nA 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同 D 焦距相等 x2y2??1上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别2.如果椭圆 2516是 3 离心率e?【范例导析】 5，一条准线为x?3的椭圆的标准方程是 3x2y2例1.椭圆2?2?1（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且 abF1M?F2M?0。 求离心率e的取值范围. 例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC中点的横坐标. y例2 ABCF1oF2B'x 【反馈练习】 1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 x2??y2?1的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的2．已知F1、F2为椭圆24面积为 3.已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为 x2y2??1上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 4.椭圆 10036 x2y?9???1上不同三点A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的距离成等5.椭圆 2595??差数列． 求证:x1?x2?8； 2第3课 双曲线 【考点导读】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】 1.双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍，则 22y2x22. 方程??1表示双曲线，则k的范围是 k?3k?33．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y??为 4. 已知焦点F1(5,0),F2(?5,0)，双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为 【范例导析】 例1. (1) 已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1,P2坐标分别为 1x，则此双曲线的离心率29(3,?42),(,5)，求双曲线的标准方程; 4x2y2?3点的双曲线方程及离心率． ??1共渐近线且过A23，（2）求与双曲线 169??例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) x2y2例3.双曲线2?2?1(a?1,b?0)的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1， ab0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和s?范围. 【反馈练习】 4c.求双曲线的离心率e的取值5x2y2???1的渐近线方程为 1.双曲线242.已知双曲线的离心率为2，焦点是(?4，0)，(4，0)，则双曲线方程为 F2(5,0)，3.已知双曲线的两个焦点为F1(?5,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1?PF2， |PF1|?|PF2|?2，则该双曲线的方程是
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