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高等数学期末复习
第九章 多元函数微分学
一、内容要求
1、会求简单二元函数定义域 2、会求多二元函数表达式和值 3、会求简单二元函数的极限
4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达
5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值 6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式 7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数 8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数 9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数
12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况
14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数
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18、会求多元函数的梯度
二、例题习题
y1、二元函数z?arcsin的定义域是( )
x A.{(x,y)||y|?|x|} B. {(x,y)||y|?|x|x?0} C. {(x,y)||y|?|x|x?0} D. {(x,y)||y|?|x|x?0}
解：使函数z?arcsin容要求1）
2、函数f(x,y)?ln(x?y)?yy有意义，只要||?1,x?0，即|y|?|x|,x?0，所以，选B. （内xx1的定义域为 ；
x2?y2122x?y?0,x?y?0，所以填有意义，只要22x?y解：使函数f(x,y)?ln(x?y)?{(x,y)|x?y?0,x2?y2?0}（内容要求1）
3、设f(x?y,x?y)?x?y,则f(x,y)?( ).
(A) x?y (B) x?y (C) (x?y) (D) xy 解：令u?x?y,v?x?y，则x?2222222u?vu?v，于是 ,y?22f(x?y,x?y)?x2?y2?f(u,v)?uv
即由函数与自变量记号选取无关性有f(x,y)?xy。所以选D。（内容要求2）
x2?y24、设f(x,y)?，则f(2,?3)? ；
2xy解：f(2,?3)?5、
4?91313??，所以填?。（内容要求2） ?121212(x,y)?(0,0)limxy?1?1?( )；
xyA.
11 B. C. 1 D. 0
42可编辑
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解：
(x,y)?(0,0)limxy?1?1(xy?1?1)?(xy?1?1)11?lim?lim?
xyxy?(xy?1?1)xy?1?12(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)所以选A。（内容要求3） 6、
sinxy? ；
(x,y)?(0,0)xlimsinxysinxysinxy?lim[?y]?lim?limy?0
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)xxyxy(x,y)?(0,0)lim解：
所以填0。（内容要求3） 7、
sinxy? ；
(x,y)?(2,0)ylimsinxysinxy?lim?limx?2，所以填2。（内容要求3）
(x,y)?(2,0)(x,y)?(2,0)yxy(x,y)?(2,0)lim解：
f(0,0)?f(2x,0)? ( )；
x?0x1?1???A．fx(0,0) B．?fx(0,0) C．?2fx(0,0) D．2fx(0,0)
22f(0,0)?f(2x,0)f(2x,0)?f(0,0)解：由偏导数定义，lim??2lim??2fx?(0,0)
x?0x?0x2x8、函数
f(x, y)在点(0, 0)处存在偏导数，则lim所以选C。（内容要求4） 9、 函数A．
f(x, y)在点(0, 0)处存在偏导数，则limy?0f(0,0)?f(0,y)? ( )；
2y1?1???fy(0,0) B．?fy(0,0) C．?2fy(0,0) D．2fy(0,0)
22y?0解：由偏导数定义，limf(0,0)?f(0,y)1f(0,y)?f(0,0)1??lim??fy?(0,0)
2y2y?0y2所以选B。（内容要求4）
10、 函数( )；
A．fx?(x0,y0) B．?fx?(x0,y0) C．fy?(x0,y0) D．?fy?(x0,y0) 解：由偏导数定义，
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f(x, y)在点(x0, y0)处存在偏导数，则lim?x?0f(x0,y0)?f(x0??x,y0)?
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?x?0limf(x0,y0)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?lim?fx?(x0,y0) ?x?0?x??x所以选A。（内容要求4） 11、函数
f(x, y)在点(x0, y0)处偏导数存在是f(x, y)在点(x0, y0)处连续的( )；
A．充分必要条件 B．必要条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 解：选D。（内容要求4）
12、设函数f(x,y)?x2?xy，则fy?(1,1)?( ). (A) 1 (B) 2 (C) 解：fy?(x,y)?1 (D) 3 21，所以选C。（内容要求5） 2x2y，所以fy?(1,1)?y2?2z?( ). 13、设z?，则
x?x?y(1,?1)(A) ?2 (B) ?1 (C) 2 (D) 1
?zy2?2z2y?2z??2,??2，所以?2，所以选C。解：（内容要求5） ?xx?x?yx?x?y(1,?1)
14、z?ln(1?x?y)，则dz22|x?1y?2?
解：
?z2x?z2y?z1?z2?,?|?,|?，所以，，故 x?1x?1?x1?x2?y2?y1?x2?y2?xy?23?yy?231212dz|x?1?dx?dy，所以填dz|x?1?dx?dy。（内容要求6）
3333y?2y?215、设z?解：
1ln(1?x2?y2)，则dz|(1,1)? 2?zx?zy?z1?z1?,?|?,|?，所以，，故 x?1x?1?x1?x2?y2?y1?x2?y2?xy?13?yy?131111dz|x?1?dx?dy，所以填dz|x?1?dx?dy。（内容要求6）
3333y?1y?1可编辑
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