7微分方程数值解课件-11

? 微分方程离散化方法主要有

数值微分法，数值积分法和Taylor展开法。

? 初值问题化为差分方程的方法

1. 用离散方法去掉方程中的导数y?得到近似离散化方程； 2. 在近似离散化方程中用yk代替y(xk)； 3. 在近似离散化方程中将近似号“?”用等号“=”代替。

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1) 数值微分法

由初值问题（6.1）有y'(xk)?f(xk,y(xk))，用数值微分的2点前差公式代替y'(xk)，得近似离散化方程

y(xk?1)?y(xk)xk?1?xk?y'(xk)?f(xk,y(xk)) 记h?xk?1?xk，做yk?y(xk)，“???h?f(xk,yk)”，得差分方程

yk?1?yk

写容易计算的形式

yk?1?yk?hf(xk,yk) (k?0,1,2,?,n?1) （6.2） （Euler公式）

由初值条件y?y(a)及式（6.2）可求出（6.1）的数值解y1,y2,?,yn。公式（6.2）是显式单步法。

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2）数值积分法 在[xk,xk?1]上对y'?f(x,y)两边取定积分，得

y(xk?1)?y(xk)??xk?1xky'dx??xk?1xkf(x,y(x))dx

对右端积分采用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程：

y(xk?1)?y(xk)?h2[f(xk,y(xk))?f(xk?1,y(xk?1))] 于是得到求初值问题（6.1）的梯形方法

yhk?1?yk?2[f(xk,yk)?f(xk?1,yk?1)] (k?0,1,?,n?1)

该公式是隐式单步法。

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3）Taylor展开法

因为初值问题中函数f(x,y)是已知函数，由y??f(x,y)，可以计算y''，y'''，…， 于是有函数y?y(x)在xk处的Taylor展式

y(xk?1)?y(xh2k)?hy'(xk)?2!y''(xk)??(xhf(xh2?ydk)?k,y(xk))?2!dx[f(x,y(x))]x?xk??取上式右端前若干项，得近似离散化方程。 例如取前两项有

y(xk?1)?y(xk)?hf(xk,y(xk))

于是又得到Euler公式：yk?1?yk?hf(xk,yk)

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