解 该单步公式的局部截断误差是
Tn?1?y(xn?1)?y(xn)?h3[f(xn,y(xn))?2f(xn?1,y(xn?1))]
?y(xn?1)?y(xn)??y(xn)?hy?(xn)?h2h3h2?y?(xn)?2y?(xn?1)?
y??(xn)?h32!3!y???(xn)?h44!y(4)(xn)??
2??h????????y(xn)?y(xn)?h?y(xn)?hy(xn)?y(xn)???33?2!?121223?(1??)hy?(xn)?(?)hy??(xn)?O(h)33231232??hy??(xn)?O(h)?O(h)6
故局部截断误差主项是?
16hy??(xn)2，方法是一阶的。
132
? 求阶p的另一方法
因为
Tk?1?y(xk?h)?y(xk)?h?(xk,y(xk),h)
去掉下标，有
T(x)?y(x?h)?y(x)?h?(x,y(x),h)
若将y(x?h)在x点展开有
T(x)?O(hP?1)
则知该方法的阶是p。
133
例如，对Euler方法yk?1?yk?hf(xk,yk)，有
?(x,y(x),h)?f(x,y(x))
那么
T(x)?y(x?h)?y(x)?hf(x,y(x))
将y(x?h)在x点展开，有
y(x?h)?y(x)?hy'(x)?h22!y''(x)??
?y(x)?hf(x,y(x))?h22!y''(x)??
故有
T(x)?h22y''(x)???O(h2)
因此，Euler方法是一阶方法。
134
定义6.3 设用某种数值方法求初值问题（6.1）在任意节点xk的数值解yk时，满足?k?1??k，则称该数值方法是绝对稳定的。
?k的舍这里?k是计算机计算yk时得出的计算解y入误差，y?k?yk??k。 通常用试验方程
y'??y （?为复数）
来讨论求解初值问题的数值方法绝对稳定性；对具体初值问题，可取???f?y(xk,yk)。
稳定性常与步长h有关。
135
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