7微分方程数值解课件-11

定义6.4 某方法在试验方程中绝对稳定的复平面???h范围称为该方法的绝对稳定域，它与复平面实轴的交称为该方法的绝对稳定区间。

绝对稳定域包含复平面左半平面??h|Re??h??0?的方法称为是A-稳定的。

绝对稳定域越大，对应的方法绝对稳定性越好。

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6.4 Euler方法的有关问题

用Euler公式yk?1?yk?hf(xk,yk)，y(a)?y0求解初值问题（6.1）数值解的方法称为Euler方法。

1 )Euler方法的几何意义

Euler方法常称为折线法。 2) Euler方法的误差

设y?k?1为yk?1的计算解，f(x,y)满足 f(xk,y(xk))?f(xk,yk)?Ly(xk)?yk

其中L?0(k?0,1,2,?,n)。

则有Euler方法的局部截断误差T2k?O(h)；

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Euler方法的总体截断误差

?k?1?y(xk?1)?yk?1?yk?1?y?k?1ek?1?y(xk?1)?y

由yk?1?y?xk??hf?xk,y?xk??ek?1?Tk?1?，y?(1?hL)ek

2k?1?k?hf(xk,y?k),有 ?y?Tk?1?(1?hL)Tk?(1?hL)Tk?1???(1?hL)T12k

因为对任意m都有Tmk?O(h)，可得

kmek?1???m?0(1?hL)k?1Tk?1?m?O(h)?(1?hL)m?022m(1?hL)?11?hL?1O(h)?O(h)

由k的任意性，可知Euler方法的总体截断误差为

ek?O(h)

说明当h足够小时，由Euler方法计算所得数值解可以很好地逼近准确解，从而Euler方法是收敛的。

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3) Euler方法稳定性

将Euler公式用于试验方程y'??y，得到

yk?1?yk?h?yk?(1??h)yk （6.8） 设计算yk时有舍入误差?k,yk?1??k?1，则有

?(1??h)(yk??k)

k?0,1,2,?得

?k?1?(1??h)?k

要想?k?1??k，只须1??h?1，因此Euler方法在1??h?1时是绝对稳定的，其绝对稳定域为复平面?h上以-1为中心的单位圆盘。

由图形可知Euler方法的绝对稳定区间为?2?Re??h??0。

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