问题1 从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？ 问题2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 问题3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？
例2 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 跟踪训练2 已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)． 探究点三 导数的实际应用
例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀．当温度为tC时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．
跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第xh0时，原油的温度(单位：C)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时
0变化率，并说明它们的意义．
【当堂检测】
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx ( ) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不等于0
1
2．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是 ( )
2
1
A．at0 B．－at0 C．at0 D．2at0
23
3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是 ( )
2 B．－3 C．2
1
4．已知函数f(x)＝，则f?(1)＝________
xA．3
D．－2
【课堂小结】 1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值． 2．利用导数定义求导数的步骤：
（1）求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy
（2）求平均变化率；
Δx（2）取极限得导数f′(x0)＝lim
Δx→0
Δy. Δx
【拓展提高】
1．设f??3??4,则limh?0f?3?h??f?3?为（ ）
2h A．－１ B．－2 C．－3 D．1
2．一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s?A．4s末 B．8s末 C．0s与8s末 D．0s,4s,8s末
14t?4t3?16t2,则速度为零的时刻是 （ ） 4【教学反思】
4
§1.1.3
【学习要求】
2．会求导函数．
导数的几何意义导学案
1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
【学法指导】
前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.
【知识要点】
1．导数的几何意义 （1）割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) Δy
的一条割线，此割线的斜率是＝__________________.
Δx
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f?(x)是x的一个函数，称f?(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f?(x)也记作y′，即f?(x)＝y′＝_______________
【问题探究】
探究点一 导数的几何意义
问题1 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．
5
跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．
（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )
探究点二 求切线的方程
问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
问题2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？ 例2 已知曲线y＝x2，求：
（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P(3,5)的切线方程．
跟踪训练2 已知曲线y＝2x2－7，求：
（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．
【当堂检测】
1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( ) A．4 B．16 C．8 D．2
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______
【课堂小结】
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝lim
Δx→0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝Δx
f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
6
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
【拓展提高】
，f(1))处的切线方程是y?1．已知函数y?f(x)的图象在点M(11x?2，则f(1)?f?(1)? 22．设P为曲线C：y?x2?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0，?，则点P???横坐标的取值范围为
【教学反思】
7
?4?
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