热点三 简单的线性规划问题
例3 (2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( ) A．31 200元 C．36 800元
B．36 000元 D．38 400元
思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题． 答案 C
解析 设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元， x＋y≤21
??y－x≤7
则z＝1 600x＋2 400y, x、y满足?36x＋60y≥900，
??x，y≥0，x、y∈N画出可行域如图
2z
直线y＝－x＋过点A(5,12)时纵截距最小，
32 400所以zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．
思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．
x>0??y＋1
(1)已知实数x，y满足约束条件?4x＋3y≤4，则w＝的最小值是( )
x
??y≥0
A．－2 C．－1
B．2 D．1
x＋y－2≥0，??
(2)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足?x－2y＋4≥0，
??2x－y－4≤0，答案 (1)D (2)2
解析 (1)画出可行域，如图所示．
若z的最大值为12，则k＝________.
y＋1w＝表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，－1)连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小
x为
－1－0
＝1，故选D. 0－1
(2)首先画出可行域如下图所示，可知当x＝y＝4时，z取最大值12，∴12＝4k＋4，∴k＝2.
1．几类不等式的解法
一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化． 2．基本不等式的作用
二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的基本步骤
(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；
(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；
(3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.
真题感悟
1．(2014·山东)已知实数x，y满足ax A.2>2 x＋1y＋1C．sin x>sin y 答案 D 1 解析 因为0 2成立．B中，当x＝0，y＝－1时，ln 1 2．(2014·广东)若变量x，y满足约束条件?x＋y≤1， ??y≥－1，m和n，则m－n等于( ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 B 解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z. ?y＝x，?x＝－1，?? 由?得? ??y＝－1，y＝－1，?? B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) D．x3>y3 且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为 ∴A(－1，－1)． ???x＋y＝1，?x＝2，?由得? ???y＝－1，?y＝－1， ∴B(2，－1)． 当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6. 押题精练 1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝3－ 2 ，已知生产该产品还需投入成本x＋1 20 (10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．则促销费用投入 P万元时，厂家的利润最大？( ) A．1 C．2 答案 A B．1.5 D．3 解析 设该产品的利润为y万元，由题意知，该产品售价为2×(2×(2 10＋2P )万元，所以y＝P 10＋2P44 )×P－10－2P－x＝16－－x(x>0)，所以y＝17－(＋x＋1)≤17－Px＋1x＋144×?x＋1?＝13(当且仅当＝x＋1，即x＝1时取等号)，所以促销费用投入1万元x＋1x＋1 时，厂家的利润最大，故选A. ?3x－y≤0，2．若点P(x，y)满足线性约束条件?x－3y＋2≥0， ?y≥0， 的最大值为________． 答案 6 →→ 点A(3，3)，O为坐标原点，则OA·OP →→→→ 解析 由题意，知OA＝(3，3)，设OP＝(x，y)，则OA·OP＝3x＋3y. 令z＝3x＋3y， 如图画出不等式组所表示的可行域， 可知当直线y＝－3x＋ 3 z经过点B时，z取得最大值． 3 由? ?3x－y＝0，?x＝1， 解得?即B(1，3)，故z的最大值为3×1＋3×3＝6. ?y＝3，?x－3y＋2＝0， →→ 即OA·OP的最大值为6. (推荐时间：50分钟) 一、选择题 1．(2014·四川)若a>b>0，c abB.< cd
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