2006年秋季学期《线性代数》期末复习大纲
一、考试形式：闭卷
二、参考书：课本，杨荫华版 三、试卷结构
题型包括选择、填空和计算题。其中，选择4道20分，填空4道20分，大题3道60分。
四、复习要求
1、复习基础知识
在复习过程中，我们一定要把教材中提到的基础知识复习一遍，掌握每个关键知识点的含义。基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面。
例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是sXn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r，记成rank(A)=r(或r(A)＝r，秩A＝r)．
显然，定义中内涵的要点有：
1．A中至少有一个r阶子式不为零； 2．所有r阶以上均为零．
3．若所有r+1子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零．
要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零？小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解．
例1 设A是m×n矩阵，r(A)＝r 基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决． 基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中(行列式、矩阵、向量、方程组)绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩、求向量组的极大线性无关组、 求方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算能力培养的重要．只听不练，只看不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历次考试中，不乏有教训惨痛的人． 2、活用概念 线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，所以我们应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字． 五、知识复习 第一部分 线性代数中的最基本概念 基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行一次测试. 1.矩阵 (1)基本概念 矩阵是描写事物形态的数量形式的发展. 由m?n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m?n型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素. 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0. 两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等. (2)线性运算和转置 加(减)法:两个m?n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m?n矩阵,记作 A+B (A-B),法则为对应元素相加(减). 数乘: 一个m?n的矩阵A与应该数c可以相乘,乘积仍为m?n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为先性运算,它们满足以下规律: ① 加法交换律: A+B=B+A. ② 加法结合律: (A+B)+C=A+(B+C). ③ 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. ④ 数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ cA=0? c=0 或A=0. T 转置:把一个m?n的矩阵A行和列互换,得到的n?m的矩阵称为A的转置,记作A(或A?). 有以下规律: TT ① (A)= A. TTT ② (A+B)=A+B. TT ③ (cA)=(cA). (3) n阶矩阵 几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵. n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|,称为A的行列式. 把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.(其上的运算行列号相等.) 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们但是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 主对角线外的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE. 上(下)三角矩阵: 主对角线下(上)的的元素都为0的n阶矩阵. T 对称矩阵:满足A=A矩阵.也就是对任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. T 反对称矩阵:满足A=-A矩阵.也就是对任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0. (4) 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 矩阵的初等行变换有以下三种: ① 交换两行的上下位置. ② 用一个非0的常数乘某一行的各元素. ③ 把某一行的倍数加到另一行上. 类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换. 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: ① 如果它有零行,则都出现在下面. ② 每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增. 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练. 2. 向量 (1)基本概念 向量是另一种描述事物形态的数量形式. 由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量. 书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,? ,an的向量可表示成 a1 (a1,a2,? ,an)或 a2 , ┆ an 请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边n?1是矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵的行向量和列向量的区别. 一个m?n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为?1,??2,? ,?n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(?1,??2,? ,?n). 矩阵的许多概念也可对向量来规定,如向量的相等,零向量等等.这里从略. (2) 线性运算和线性组合 向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全一样的运算规律,这里也不来复述了. 向量组的线性组合:设?1,??2,? ,?s是一组n维向量, c1,c2,? ,cs是一组数,则称 c1?1+ c2?2+? ,+cs?s为 ?1,??2,? ,?s的(以c1,c2,? ,cs为系数的)线性组合.它也是n维向量. 3．线性方程组 (1) 基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+? +a1nxn=b1, a21x1+a22x2+? +a2nxn=b2, ? ? ? ? am1x1+am2x2+? +amnxn=bm, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.分别称矩阵 a11 a12 ? a1n a11 a12 ? a1n b1 A= a21 a22 ? a2n 和(A|?)= a21 a22 ? a2n b2 ? ? ? ? ? ? ? am1 am2 ? amn am1 am2 ? amn bm 为方程组的系数矩阵和增广矩阵. 如果b1=b2=?=bm=0,则称为齐次线性方程组.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,? ,kn),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. n维零向量总是齐次线性方程组的解,因此齐次线性方程组的解情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). (2) 同解变换与矩阵消元法 线性方程组的同解变换有三种: ① 交换两个方程的上下位置. ② 用一个非0的常数乘某个方程. ③ 把某方程的倍数加到另一方程上. 以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换. 线性方程组的基本求解方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法:写出方程组的增广矩阵(对齐次方程组用系数矩阵),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再写出所代表的阶梯形方程组 (它是原方程组的同解方程组),用它求解. 第二部分 行列式 1. 形式和意义 2 形式:用n个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式. 如果行列式的列向量组为?1,??2,? ,?n,则此行列式可表示为|?1,??2,? ,?n|. 2 意义:是一个算式,把n个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 2. 定义(完全展开式)
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