2阶和3阶行列式的计算公式: a11 a12 a21 a22 = a11a22-a12a21 . a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32+ a12a21a33. a31 a32 a33
一般地,一个n阶行列式 a11 a12 ? a1n
a21 a22 ? a2n
? ? ? an1 an2 ? ann
的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:a1j1a2j2?anjn,这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2?jn构成1,2, ?,n的一个全排列(称为一个n元排列),一共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项..
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定?(j1j2?jn)为全排列j1j2?jn的逆序数(即小数排列在大数后面的现象出现的个数,例如6元排列231645有4个逆序:21,31,64,65,因此??(231645)=4),则所乘的是(?1) a11 a12 ? a1n
a21 a22 ? a2n =? ? ? an1 an2 ? ann 这里
j1j2?jnj1j2?jn?(j1j2?jn).于是
?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn.
?表示对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式的完全展开式.
3.性质
行列式有以下性质:
T
① 把行列式转置值不变,即|A|=|A| . ② 某一行(列)的公因子可提出.
③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量???????则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量?换为?或??所得到的行列式????????
④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.
⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.
⑥ 如果把一个行(列)向量的倍数加到另一个行(列)向量上,则行列式的值不变.
把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余
i+j
子式,记作Mij.称Aij=(-1)Mij为aij的代数余子式.
⑦ 行列式可对某一行(列)展开,即行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.
⑧ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑨ 如果A与B都是方阵(不必同阶),则
A * = A O =|A|+|B|. O B * B 范德蒙行列式:形如
1 1 1 ? 1 a1 a2 a3 ? an
2222
a1 a2 a3 ? an
? ? ? n-in-in-in-i
a1 a2 a3 ? an
的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,?,an所决定,它的值等于
?(aj?ai).
i?j因此范德蒙行列式不等于0? a1,a2 ,a3,?,an两两不同.
4.计算
行列式的核心问题是值的计算.
(1)用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.
(2)化零降阶法:取定一行(列),先用性质⑥把这行(列)的元素消到只有一个或很少几个不为0,再用⑦,对这行(列)展开.例如设4阶行列式
1 1 1 1 D= -2 x 3 1 , 2 2 x 4 3 3 4 x 取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到
1 0 0 0 x+2 5 3 x-2 2 D= -2 x+2 5 3 = 0 x-2 2 =(x+2) 1 x-3 =(x+2)[(x-2)(x-3)-2]=(x+2)(x-1)(x-4). 2 0 x-2 2 0 1 x-3 3 0 1 x-3 (3)利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式,包括n阶行列式. 5.克莱姆法则
克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)时,如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,?,Dn/D),这里D是系数行列式的值, Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.
两点说明:
① 按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上. (实际求解方法:对增广矩阵(A|?)作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时?变为解.)
② 法则的改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件. 练习题一 1．计算行列式
(1) 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 . (2) 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 . 2. (1) a 0?0 b (2) a1 0 a2 0
0 0 0 b1 0 b2 0 0 c1 0 c2 0 c 0?0 d . 0 d1 0 d2 .
3. 计算n阶行列式
(1) 1 2 3 ? n-1 n -1 2 3 ? n-1 n -1 –2 3 ? n-1 n ? ? ? ? -1 –2 –3 ? 1-n n ．
(2) 1 -2 -2 ? -2 -2 (3) 1 2 3 ? n (4) 1 a1 0 ? 0 0 2 2 -2 ? -2 -2 2 1 2 ? n-1 -1 1-a1 a2 ? 0 0 2 2 3 ? -2 -2 3 2 1 ? n-2 0 -1 1-a2 ? 0 0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 n ． n n-1 n-2 ? 1 ． 0 0 0 ? -1 1-an ． 4. 设4阶矩阵A=(?, ?1, ?2 ,?3),B=(?, ?1, ?2 ,?3),|A| =2, |B|=3 ,求|A+B| .
5. 一个三阶行列式的值为8，它的第二行的元素是1，2，a，它们的余子式依次为A21=2，A22=-1，A23=1，则a =( ).
3
6. x-3 1 -3 2x+2
多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数，最高次项的系数和常数项.
2
X+3 -1 33x-2 3
9 x 6 -6 7. x-2 x-1 x-2 x-3 求多项式f(x)= 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3 的次数. 3x-3 3x-2 4x-5 3x-5 4x 4x-3 5x-7 4x-3
8.已知 x-3 a -1 4 f(x)= 5 x-8 0 –2 的根为x1, x2, x3, x4,求x1+x2+x3+x4.
0 b x+1 1 2 2 1 x
9. 求行列式 0 1 0 0 ? ? 0 的全部代数余子式的和.
-1
0 0 20 ? ? 0
-1
0 0 0 3? ? 0 ? ? ? ?
-1
0 0 0 0 ? ?(n-1)
-1
n 0 0 0 ? ? 0 10． a b c d 已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3
参考答案
4
1.(1) 把各列都加到第1列上,提出公因子. 得(4a+2)(a-2). (2) 自下而上,各行减去上一行(作两次).得0. 2.用换行(列)的方法.得
(1) (ad-bc)|B|.(3) (a1c2- a2c1)(b1d2-b2d1).
n-1
3. (1)提示：把第一行加到其它各行． 得2n! ． (2) 第3到n行各减第二行． 得(n+2)!/4．
n-1 n-2
(3) 提示：自下而上各行减去上行． 得(-1)2(n+1) ． (4) 提示：从第2行起，自上而下各行加上行． 得1 ． 4. 得40. 5. 得8.
6. 最高次只出现在下面划线的4个元素的乘积一项中,常数项即f(0).得9 ,6, 0. 7. 2.
8. 提示:利用特征值的性质.得10.
n-1
9. 提示:利用伴随矩阵.得(-1)(n+1)/2(n-1)!. 10.x=0,y=3,z=-1.
第三部分 线性方程组
1. 线性方程组的形式
线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 矩阵式 AX=?，(齐次方程组AX=0).
向量式 x1?1+ x2?2+? ,+xs?s=??， (齐次方程组x1?1+ x2?2+? ,+xs?s=0).
2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX=0
如果?1,??2,? ,?s是齐次方程组AX=0的一组解,则它们的任何线性组合c1?1+?c2?2+? + cs?s也都是解.
(2) 非齐次方程组AX=?(?0)
如果?1,??2,? ,?s是AX=?的一组解,则
① 它们的线性组合c1?1+?c2?2+? +cs?s也是AX=?解的?c1+?c2+? +cs=1.?② 它们的线性组合c1?1+?c2?2+? +cs?s是AX=?的解? c1+?c2+? +cs=0.?如果?0是AX=?的一组解,则n维向量(n是未知数的个数)??也是解??-?0是导出齐次方
相关推荐：
loading