10．已知 0 1 1 ?= 1 0 1 ，???????????，求?．?
0 1 0 11. 1 0 0 -1-1
设 ??= -2 3 0 ,??=(?+E)(?-E),则(?-E)= . 0 -4 5 12. A是一个3阶矩阵, 3维向量组?1, ?2 ,?3线性无关,满足A?1=?2+?3, A?2=?1+?3, A?3=?1+ ?2 .求|A|.
13. 设 1 0 0 1 0 0 ??= 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11. 0 0 -1 2 1 1 14. 2 0 0 设 ??=(1/2) 0 1 3 ,求(A*)??. 0 2 5
15．设n阶矩阵?满足???????????，证明?可逆，并求???和(???)?? ??????
K
16.设n阶矩阵??满足???，?k为一个自然数?，证明???可逆??
17．设n阶矩阵??满足??????????， 并且A不是数量矩阵．问a为什么数时A?aE可逆？ 18. 已知n阶矩阵?????????????????????????证明?????．???
19．设A，B，C都是n阶可逆矩阵，D=(ABAC)?1，证明BACD=CDAB． 20．设A，B都是n阶矩阵，AB+E可逆．证明BA+E也可逆，并且 (BA+E)?1=E??(AB+E)??A ．
21．A，B都是n阶矩阵，并且B和E??AB都可逆，证明：
?(E +A?)????????E??(E + AB)??A?．
22.设A,?是两个n阶矩阵，则（ ）是A,? 可交换的充分必要条件.
3322322
(A)? (A+?)= A+3A? +3A?+? .(B) A与?可交换.
222
(C)? A+?与A??可交换. (D)? (A???A?.
2
23．设A,B是两个n阶矩阵,满足(AB)=E,则( )成立.
2
?A) AB=E.(B) |A||B|=1.(C) AB=BA.(D?(BA)=E???
-1-1-1-1
24.设A,B是两个3阶矩阵,|A|=2,|B|=3,则|A*B-AB*|=( ). ?A)36.(B)1/36.(C)-6.(D??6. 25．已知3阶矩阵?满足:
2 1 -3 -5 -3 9 23
??= 1 1 -2 , ?= -3 -2 6 , 求?. -3 -2 6 9 6 –17 26．设A,B是两个n阶矩阵,则( )成立.
?A) 如果A,B都可逆,则 AB= BA. (B)如果AB是非零数量矩阵,则AB= BA.
222
(C) 如果A*B= BA*,则AB= BA. (D?如果(AB)= AB?则AB= BA.
T T
27．设?=(-1,-1,2),??=(1,1,0),??=2E+???,B=E+3???,则AB-BA= . 参考答案 n n-1
1.?4? . 2． 2?.
1 1 1 2003
3．A= A=-1 -1 -1 . 1 1 1
4???????????????????????????? -6 -9 -9?
5 T
???? B?B=??????????2 3 3???????．??????????????????????????????????2 3 3?5． -135.
6． 5 -2 -2 B= 4 –3 –2 . -2 2 3 7． 3 -1? X= 2 0 . 1 -1??8． 1 1/2 0 A= -1/2 1 0 . 0 0 1 9． 1 1 0 ?? X????????????????????????? 1 0 1 10 2 2 2 B=-3 1 3 2 .?
1 1 2 -1
11. (?-E)= -(?+E)/2. 12. 2.
13. 设 1 0 0 1 0 0 ??= 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11. 0 0 -1 2 1 1 14. (A*)??=-4?.
15．????=(????)/2 ,(???)??= (????)/4. ??????
K
16.设n阶矩阵??满足???，?k为一个自然数?，证明???可逆??17． A不等于1和2.
18. 已知n阶矩阵?????????????????????????证明?????．???
19．设A，B，C都是n阶可逆矩阵，D=(ABAC)?1，证明BACD=CDAB． 20．设A，B都是n阶矩阵，AB+E可逆．证明BA+E也可逆，并且 (BA+E)?1=E??(AB+E)??A ．
21．A，B都是n阶矩阵，并且B和E??AB都可逆，证明：
?(E +A?)????????E??(E + AB)??A?．
22. (C). 23．(D)??24. (B).
25． -1 0 1 ? 0 0 1 . 1 1 -2 26．(B).
27． –2 –2 -2 T T TT
AB-BA=3(????-????)=6 –2 –2 -2 . –2 –2 4
第六部分 n阶矩阵的特征向量和特征值
1.定义
设A是n阶矩阵.一个n维向量?称为A的特征向量，如果
(1)??0；
(2)A?与?线性相关.
此时，存在唯一数?，使得A?=??，称?为?的特征值.(并且说?是属于?的特征向量.)
例如对于数量矩阵?E，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是?. 2.计算
对等式A?=??作恒等变形，得(?E -A)?=0，即?是齐次方程组(?E -A)X=0的非零解，由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：
①??是A的特征值???E -A ?=0，即(?E -A)不可逆.
②??是属于?的特征向量??是齐次方程组(?E -A)X=0的非零解.
规定A的特征多项式为?xE -A ?，则A的特征值就是它的特征多项式的根. 例如，对角矩阵的特征值即对角线上的各元素. 计算特征值和特征向量的具体步骤为： 计算特征多项式，求出它的根，即特征值；然后对每个特征值?，求齐次方程组(?E -A)X=0的非零解，即属于?的特征向量.
3.性质
特征值?的重数：即?作为特征多项式的根的重数.
A的特征值共有n个(其中有的相同，有的是虚数)，也就是A的全体不同特征值的重数和等于n.
定理 设?是A的特征值，则它的重数?n-r(?E -A).
设??，??，?，? n是A的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到： ①?????????? n??tr??????的迹数，即主对角线上元素之和???②??????? n???A ?.
6.4和?相关矩阵的特征值
命题 如果?是A的特征向量，特征值为?，则?
①??对任何常数c，??也是cA的特征向量，特征值为c?；?
kk
②??对任何自然数k，??也是A的特征向量，特征值为?；?③????也是A的多项式f(A)的特征向量，特征值为f(??；??
-1-1
④??如果A可逆，则??也是A的特征向量，特征值为???从特征值方面看，有?
命题 如果?是A的特特征值，则?
①??对任何常数c，?c?是cA的特征值；?
kk
②??对任何自然数k，??是A的特征值；?③???f(??是A的?多项式f(A)的特征值；??
-1-1
④??如果A可逆，则??是A的特征值??t
A和A有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.但是它们的特征向量可能不相同.
练习题五
1． 1 -2 2 设A = -2 -2 4 ，求A的特征值和特征向量． 2 4 -2 a 1 1 1 2． 求矩阵 1 a 1 1 的特征值和特征向量．
1 1 a 1 1 1 1 a 3. 已知0是A = -1 3 的特征值，求a和A?的另一个特征值．
-a a+2 4. 1 0 1
已知0是A = 0 2 0 的特征值，求a和A?的别的特征值．
1 0 a
-3 x y
T
5． 已知? =(0，2，1)是 A= 0 x 2y 的特征向量,求x,y和?的特征值.
-1 0 1
1 -1 1
T
6． 已知? =(h，-2，3)是 A?= 2 4 -2 的特征向量,求h,k和?的特征值.以及A的
-3 k 5 其它特征值.
2 -1 2 T
7．已知? =(1，1，-1)是 x 2 y 的特征向量 ，求x，y和?的特征值．
0 x 1 ?
8. 7 4 -1
设A?= 4 7 -1 有一个二重特征值3，求x和另一个特征值,以及属于3 的特征向量． -4 x 4 9. 已知A是3阶对称矩阵,对角线上的元素都为0, 并且(1,2,-1)是A的特征向量,值为?.
求A.??
TTT
10. 已知3阶矩阵A的第2个行向量为(3,1,1),并且(1,1,1),(1,-1,-1),(1,-1,0)都是其特征向量?求A?
11．设n阶矩阵A 有两个特征向量?1,?2，它们的特征值不相等， ⑴ 证明?1，?2线性无关；⑵ 证明?1+?2不是特征向量．
2
12．将上题中特征向量改为3个，证明同样结论.记? =?1+?2+?3，证明?,A?,A?线性无关????．设3阶矩阵A 的特征值为1，2，-1，试求?A*??? E的行列式．
??．设3阶矩阵A 的逆矩阵的特征值为1，1/2，1/3，求?A ??? A??? E的特征值．
2
15．设n阶矩阵A 满足A?2 A??5 E???，证明对任何实数k， A?k E可逆．
3
16．设n阶矩阵A 满足A?? A?，证明A的特征值不能为????和??以外的数??
T
17．设3阶矩阵A 有3个特征向量?1=(1,-1,0)T，?2=(1,-1,1)T，?3=(0,1,-1),它们的特征
2
值分别为-1,1,3，求A+A．
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