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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学（一）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A?{x|14?2x?4}，B?{y|y?x?2?2?x}，则AB?（ ） A．{2} B．{0}
C．[?2,2]
D．[0,2]
【答案】B 【解析】由14?2x?4，得?2?x?2，即A?[?2,2]， 由y?x?2?2?x，得x?2，所以y?0，所以B?{0}，所以AB?{0}．故选B．
2．若复数z满足(z?1)i?4?2i，则z?（ ） A．25 B．17
C．5
D．17
【答案】C
【解析】由(z?1)i?4?2i，得z?1?4?2ii?2?4i，所以z?3?4i，所以z?5． 3．从[?6,9]中任取一个m，则直线3x?4y?m?0被圆x2?y2?2截得的弦长大于2的概率 为（ ）
A．23
B．25
C．1
D．135
【答案】A
【解析】所给圆的圆心为坐标原点，半径为2，当弦长大于2时，圆心到直线l的距离小于1，
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即
|m|5?1，所以?5?m?5，故所求概率P?5?(?5)9?(?6)?23． 4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于
织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A．
487尺 B．
1629尺 C．
15尺 D．
1631尺 【答案】B
【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项a1?5，前30项的和S30?390，求公差d． 由等差数列的前n项公式可得，390?30?5?30?292d，解得d?1629． 5．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的
半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）
A．5?
B．10?
C．12?5?
D．24?12?
【答案】D
【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，故每部分的表面积为
2?12?4?3?14?12?6??5?14?9??12?6?，故两部分表面积为24?12?．
6．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ）
A．a的值为0.004
B．平均数约为200 C．中位数大约为183.3
D．众数约为350
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【答案】C
【解析】由(0.0024?0.0036?0.0060?a?0.0024?0.0012)?50?1，解得a?0.0044，故A错；由A可知，a?0.0044，所以平均数为
0.0024?50?75?0.0036?50?125?0.0060?50?175?0.0044?50?225?0.0024?50?275?0.0012?50?325?186，故B错误；
居民月用电量在[50,150)的频率为：(0.0024?0.0036)?50?0.3， 居民月用电量在[150,200)的频率为：0.0060?50?0.3， ∴这100户居民月用电量的中位数大约为150?0.5?0.30.3?50?183.3，故C正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为175，故D错误． 7．已知(2x2?3x?1)(ax2?1)5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A．?10 B．?7
C．10
D．9
【答案】D
【解析】令x?1，则有6(a?1)5?0，所以a?1， 又(1x2?1)5展开式的通项为T?10k?1?Ck5x2k(?1)k，令k?4，则常数项为2C45?10， 令k?5，则常数项为?1C55??1，故展开式的常数项为10?1?9．
8．已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为y??3x，则双曲线C的离心率为（ ） A．2 B．3 C．3或
3232 D．2或
23 【答案】D
【解析】当双曲线的焦点在x轴上时，设C的方程为x2y2a2?b2?1(a?0,b?0)，
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则其渐近方程为y??bax，所以ba?3，所以b2c2?a2a2?a2?e2?1?3，所以e?2； x2y2当双曲线的焦点在y轴上时，设C的方程为ab2?a2?1(a?0,b?0)，则其渐近方程为y??bx，
所以ab1b2c2?a2123b?3，所以a?3，所以a2=a2=e2?1?3，所以e?3． 9．已知正项数列?a22n?为等比数列，Sn为其前n项和，且有a3?a5?32400?2a2a6，S4?10S2，
则第2019项的个位数为（ ） A．1 B．2 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由a222223?a5?32400?2a2a6，得a3?2a3a5?a5?32400，即?a3?a5??32400，
又an?0，所以a3?a5=180，从而a（241q?q)?180，
由S4?10S2，得a1?a2?a3?a4?10(a1?a2)，即a3?a4?9(a1?a2)，
所以?a29(a21?a2?q?1?a2)，所以q?9，
又q?0，所以q?3，代入a（2q41q?)?180，得a1?2，
所以a2019?2?32018?2??34?504?32?18??81?504，故其个位数为8．
10．已知函数f(x)?x2?ax的图象在x?12处的切线与直线x?2y?0垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为15，则判断框中t的值可以为（ ）
A．
131514 B．
1415 C．
16 D．
1617 【答案】B
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【解析】f?(x)?2x?a，则y?f(x)的图象在x?12处的切线斜率k?f?(12)?1?a， 由于切线与直线x?2y?0垂直，则有(?12)(1?a)??1，则a?1， 所以f(x)?x2?x?x(x?1)，所以
1f(k)?1k?1k?1，所以S?(1?1112)?(2?3)??(11k?k?1)，由于输出的k的值为15，故总共循环了15次，
此时S?(1?1)?(1?1223)??(111515?16)?16，故t的值可以为1415． 11．已知函数f(x)?2sin(?x??)(??0,????2?2)在[?2,3]上至少存在两个不同的x1,x2满足
f(x???71)f(x2)?4，且函数f(x)在[?3,12]上具有单调性，
(?6,0)和x?12?分别为函数f(x)图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为?4
B．函数f(x)图象关于直线x???3对称
C．函数f(x)图象关于点(??12,0)对称
D．函数f(x)在(??6,2)上是单调递减函数
【答案】D
【解析】由于函数f(x)在[??3,?12]上具有单调性，所以?12??3?5?12?T2，即5?12???，
所以??125，
又由于函数f(x)在[??2?2,3]上至少存在两个不同的x1,x2满足f(x1)f(x2)?4，
所以2??7?7?2?3?2?6?T，即6??，所以??127，故有127???125， 又(??6,0)和x?712?分别为函数f(x)图象的一个对称中心和一条对称轴， 所以2k?17?2(2k?4T?12??6，k?Z，所以??1)3，k?Z，所以??2， 故f(x)?2sin(2x??)， 又(??,0)为函数f(x)图象的一个对称中心，所以2?(??66)???k?，k?Z， 所以??k???3，k?Z，
又????2，所以??3，所以f(x)?2sin(2x??3)． 由于函数f(x)的周期为?，所以相邻两条对称轴之间的距离为
?2，故A错误； 好教育泄露天机·理科数学 第5页（共16页）
f(??)??2，且f(??312)?0，故B，C错误；
由于函数f(x)的单调递减区间为??k????12,k??712????，k?Z，当k?0时，得其中的一个单调递减区间为???????,7???，而(6,2)???1212??12,712????，故D正确． 12．已知函数f(x)在(0,1)恒有xf?(x)?2f(x)，其中f?(x)为函数f(x)的导数，若?,?为锐角三角形的两个内角，则（ ）
A．sin2?f(sin?)?sin2?f(sin?) B．cos2?f(sin?)?sin2?f(cos?) C．cos2?f(cos?)?cos2?f(cos?) D．sin2?f(cos?)?sin2?f(cos?)
【答案】B
【解析】令g(x)?f(x)x2f?(x)?2xf(x)x2，则g?(x)?x4?xf?(x)?2f(x)x3， 由于x?(0,1)，且xf?(x)?2f(x)，所以g?(x)?0，故函数g(x)在(0,1)单调递增． 又?,?为锐角三角形的两个内角，则
??2????2???0，所以1?sin??sin(2??)?0， 即1?sin??cos??0，所以g(sin?)?g(cos?)，即
f(sin?)sin2??f(cos?)cos2?， 所以cos2?f(sin?)?sin2?f(cos?)．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
?x?y?13．设x,y满足约束条件?k?0?2x?3y?6?0，若目标函数z?x?2y的最大值与最小值之和为?40，
??3x?2y?6?013则k?_______．
【答案】1
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?x?y?k【解析】x,y满足约束条件??0?2x?3y?6?0的可行域如下图：
??3x?2y?6?0
由??2x?3y?6?0630x?2y?6?0，得?3A(?13,13)，
由??x?y?k?03x?2y?6?0，得B(2k?6,3k?6)， ?将目标函数化为y?1z2x?2，由图可知，当直线y?12x?z2经过点A时目标函数取得最小值，
所以z66min??13； 当直线y?12x?z2经过点B时目标函数取得最大值，所以zmax??4k?6， 所以有?6613?4k?6??4013，解得k?1． 14．若向量a,b满足a?1，(a?b)?(a?2b)?4，则向量a在b方向上投影的最小值为_____． 【答案】26
【解析】(a?b)?(a?2b)?a2?a?b?2b2?4，所以a?b?3?2b2，
又向量a在b方向上投影为a?b|b|?3?2|b|2|b|?33|b|?2|b|?2|b|?2|b|?26， 当且仅当“3|b|?2|b|”时取等号． 15．在三棱锥P?ABC中，PA?PB?22,AB?4,BC?3,AC?5，若平面PAB?平面ABC，则三棱锥P?ABC外接球的表面积为_______． 【答案】25?
【解析】取AB的中点O?，AC的中点O，连接O?O，
因为PA2?PB2?AB2，所以?PAB是以AB为斜边的直角三角形，从而点O?为?PAB外接圆的圆心， 好教育泄露天机·理科数学 第7页（共16页）
又AB2?BC2?AC2，所以?ABC是以AC为斜边的直角三角形，从而点O为?ABC外接圆的圆心， 又因为O?O∥BC，所以O?O?AB，
又平面PAB?平面ABC，且平面PAB?平面ABC?AB，所以O?O?平面PAB， 所以点O为三棱锥P?ABC外接球的球心，所以外接球的半径R?OA?12AC?52， 故外接球的表面积S?4?R2?25?．
16．已知抛物线C:x2?4y，任意直线l:y?kx?b(b?0)，已知直线l交抛物线C于M，N两点，P为y轴上的一点满足?OPM??OPN（点O为坐标原点），则P点的坐标为_______． 【答案】(0,?b)
【解析】设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(0,t)， 把y?kx?b代入抛物线方程得x2?4kx?4b?0， 所以x1?x2?4k，x1x2??4b，
因为?OPM??OPN，所以ky1?tPM?kPN?0，即x?y2?t?0， 1x2即?kx1?b?t?x2??kx2?b?t?x1?0，
所以2kx1x2?(b?t)(x1?x2)?0，即k(b?t)?0， 由于k?R，所以t??b，故P(0,?b)．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2a?ccosA?acosC． 求
ab的值及角A的取值范围． 【答案】见解析．
【解析】（1）∵2a?ccosA?acosC，
∴2sinA?sinCcosA?sinAcosC，即2sinA?sinCcosA?sinAcosC， ∴2sinA?sin(A?C)?sinB，∴
asinA2b?sinB?2． 如图，过点C作CD?AB，D为垂足．
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