(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用习题理

§7.4 基本不等式及其应用

1．如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．

3．重要不等式：a，b∈R，则a＋b≥ (当且仅当a＝b时取等号)．

4．基本不等式：a＞0，b＞0，则 ，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

5．求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a＋b有 ，即a＋b≥ ，a＋b≥ .简记为：积定和最小．

6．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ，亦即 ；或a＋b为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .简记为：和定积最大．

7．拓展：若a＞0，b＞0时，

2

2

2

2

2

2

2

2

211＋ab≤ ≤

a＋b≤ ，当且仅当a＝b时等号成立． 2自查自纠

1.

a＋ba＋b 2.ab 3.2ab 4.≥ab 221a2＋b2?a＋b?22

ab≤(a＋b) ab≤ ?42?2?a2＋b2 25．最小值 2ab 2ab 6．ab≤?7.ab

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设a，b∈R，且a＋b＝3，则2＋2的最小值是( )

A．6

B．42

abab C．22 D．26

ab解：因为2＞0，2＞0，由基本不等式得2＋2≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝时取等号，故选B.

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(2015·贵阳模拟)已知向量m＝(2，1)，n＝(2－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为( )

A.

12 B．1 C．2 D．4

解：依题意得2a＝2－b，即2a＋b＝2(a＞0，b＞0)，

∴2＝2a＋b≥22ab，∴ab≤，当且仅当2a＝b＝1时取等号，∴ab的最大值是.故选A.

1212 设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝f?＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )

A．q＝r＜p C．p＝r＜q

B．q＝r＞p D．p＝r＞q

?a＋b?，r?2??12a＋b11?a＋b?＝ln，r＝(f(a)＋f(b))＝lnab＝lnab，函数f(x)＝lnx在?222?2?a＋b?a＋b?(0，＋∞)上单调递增，∵＞ab，∴f?＞f(ab)．∴q＞p＝r.故选C. 2?2??解：p＝f(ab)＝lnab，q＝f?3 / 27

(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x＋2y的最小

值为________．

解：由xy＝1得x＋2y＝x＋≥22，当且仅当x＝±2时等号成立．故填22.

2

2

2

22

2x24 (2015·西宁模拟)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在

axx＝3时取得最小值，则实数a＝________.

aaaaa解：f(x)＝4x＋≥24x·＝4a(x＞0，a＞0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，∴＝

xxx223，∴a＝36.故填36.

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