上海松江区2017年高三数学二模试卷及答案

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松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）

（参考答案）2017.4

一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分

410? 1．{?1,0} 3．x?y?1?0 5．16 6．1 4． 2 2．

7． [?

二、选择题 （每小题5分，共20分） 13． C 14．A 15. B 16．B

三．解答题（共78分）

17．（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

31211 ．[3?3,3?3] 12．1009 ,1] 8．9 9． 10． 2 29

则B(2,0,0),A1(0,0,4)，C(0,2,0)，M(0,2,h) ……………………2分

BM?(?2,2,h)，A1C?(0,2,?4) ……………………4分

由BM?A1C得BM?A1C?0，即2?2?4h?0 解得h?1． ……………………6分 (2) 解法一：此时M(0,2,2)

uuuruuuuruuurAB??2,0,0?,AM??0,2,2?,BA1???2,0,4?……………8分

r设平面ABM的一个法向量为n?(x,y,z)

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ruuur??n?AB?0?x?0由?ruuuu得? ry?z?0??n?AM?0?r所以n?(0,1,?1) ……………………10分

设直线BA1与平面ABM所成的角为?

ruuurn?BA1410则sin??ruuu ……………12分 ?r?52?20n?BA1所以直线BA1与平面ABM所成的角为arcsin解法二：联结A1M，则A1M?AM，

10 ………………14分 5QAB?AC,AB?AA1，?AB?平面AAC11C …………………8分 ?AB?A1M ?A1M?平面ABM

所以?A1BM是直线BA1与平面ABM所成的角； ……………………10分 在Rt△A1BM中，AM?22,A1B?210 1所以sin?A1BM?A1M2210 ……………………12分 ??A1B210510 510 ………………14分 5所以?A1BM?arcsin所以直线BA1与平面ABM所成的角为arcsin

18．（1）由f(x)?4g(x)?3得2?4?2x?x?3 ……………………2分

?22x?3?2x?4?0

所以2??1（舍）或2?4， ……………………4分 所以x?2 ……………………6分 （2）由f(a?x)?g(?2x)?3得2a?xxx?22x?3 ……………………8分

2a?x?22x?3?2a?2x?3?2?x ……………………10分

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而2?3?2ax?x?23，当且仅当2x?3?2?x,即x?log43??0,4?时取等号…12分

所以2?23，所以a?1?

1log23．………………………………14分 219．（1）设AB长为x米，AC长为y米，依题意得800x?400y?1200000， 即2x?y?3000， ………………………………2分

31?x?y …………………………4分 S?ABC??x?ysin120o?4233?2x?y?2??2x?y???=2812503m 88?2?当且仅当2x?y，即x?750,y?1500时等号成立，

所以当△ABC的面积最大时，AB和AC的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为AB?750m,AC?1500m．

2uuur2uuur1uuur由AD?AB?AC …………………………8分

33uuur2?2uuur1uuur?2得AD??AB?AC?

3?3?22441AB?AB?AC?AC …………………………10分 9994411??7502??750?1500?(?)??15002?250000 9929uuur?|AD|?500， …………………………12分

? 1000?500?500000元

所以，建水上通道AD还需要50万元． …………………………14分 解法二：在?ABC中，BC?AB2?AC2?2AB?ACcos120?

?7502?15002?2?750?1500cos120o?7507 ………8分

AB2?BC2?AC2 在?ABD中，cosB?

2AB?AC7502?(7507)2?1500227? …………………………10分 ?72?750?7507'.

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在?ABD中，AD?AB2?BD2?2AB?BDcosB

27=500 …………12分 7?7502?(2507)2?2?750?(2507)?1000?500?500000元

所以，建水上通道AD还需要50万元． …………………………14分 解法三：以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(750,0)

C(1500cos120?,1500sin120?),即C(?750,7503)，设D(x0,y0) ………8分

uuuruuur??x0?250由CD?2DB，求得?， 所以D250,2503 …………10分

??y0?2503??所以，|AD|?(250?0)?(2503?0)?500……………………12分

221000?500?500000元

所以，建水上通道AD还需要50万元． …………………………14分 20． (1)设△AOB的边长为a，则A的坐标为(31a,?a)………2分 223?1?所以??a??4?a,所以a?83

2?2?此三角形的边长为83． ……………………………4分 (2)设直线l:x?ky?b

当k?0时，x?1,x?9符合题意 ……………………………6分

2?x?ky?b?y2?4ky?4b?0当k?0时，?2…………………8分

?y?4x

??16(k2?b)?0,y1?y2?4k,x1?x2?4k2?2b?M(2k2?b,2k)

QkAB?kCM??1,kAB??kCM?1 k2k??k?b?3?2k2 22k?b?5???16(k2?b)?16(3?k2)?0?0?k2?3

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