|PQ|a解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝＝，因为AP⊥PQ，
22|OP|13a??a所以在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P?，?，代入椭圆方程得
|OA|2?44?13a252222
＋2＝1，故a＝5b＝5(a－c)，所以椭圆C的离心率e＝. 1616b5
25
答案：
5
9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是________．
解析：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c＝|PF2|＝2a－10，2m＝10－2c，所以a＝c＋5，m＝5－c，
所以e1e2＝
1
×＝＝，又由三角形的性质知2c＋2c>10，由已知2c<10，c＋55－c25－c225
2－1
2
ccc2
cc<5，所以
2cc253
2－1c5252511
?1?答案：?，＋∞? ?3?
10．(2019·杭州市高考数学二模)抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，点A，B在抛物线上，|MM1|
且∠AFB＝120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最大值为________．
|AB|
解析：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF， 由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|， 在梯形ABPQ中，2|MM1|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b. 由余弦定理得，
|AB|＝a＋b－2abcos 120°＝a＋b＋ab， 配方得，|AB|＝(a＋b)－ab，
2
2
2
2
2
2
2
2
?a＋b?，
又因为ab≤??
?2?
132222
所以(a＋b)－ab≥(a＋b)－(a＋b)＝(a＋b)，
44得到|AB|≥
3
(a＋b)． 2
2
|MM1|3所以≤＝，
|AB|33
（a＋b）2即
|MM1|3
的最大值为. |AB|3
3
3
1
（a＋b）2
答案：
x2y2
11．(2019·衢州市教学质量检测)已知椭圆G：2＋2＝1(a＞b＞0)的长轴长为22，左
ab焦点F(－1，0)，若过点B(－2b，0)的直线与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆G的标准方程； (2)求证：∠MFB＋∠NFB＝π； (3)求△FMN面积S的最大值．
x2y2
解：(1)因为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的长轴长为22，焦距为2，即2a＝22，2c＝2，
ab所以2b＝2，所以椭圆的标准方程为＋y＝1.
2(2)证明：∠MFB＋∠NFB＝π，即证：kMF＋kNF＝0， 设直线方程MN为y＝k(x＋2)，代入椭圆方程得： (1＋2k)x＋8kx＋8k－2＝0， 12
其中Δ＞0，所以k＜.
2
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝ 8k8k－2－2，x1x2＝2， 1＋2k1＋2k2
2
2
2
2
2
x2
2
kMF＋kNF＝
y1x1＋1
＋
y2x2＋1
＝
k（x1＋2）k（x2＋2）x1＋x2＋2
＋＝k[2＋]＝0.故
x1＋1x2＋1（x1＋1）（x2＋1）
∠MFB＋∠NFB＝π.
11
(3)S＝·FB|y1－y2|＝|k||x1－x2|
221
＝ 2
8（1－2k）k22.
（1＋2k）
2
2
2
令t＝1＋2k， 则S＝2
－t＋3t－2
＝2
2t2
?13?1－2?－?＋， ?t4?8
2
11222
当k＝(满足k＜)时，S的最大值为.
624
12．(2019·浙江金华十校第二期调研)已知抛物线C：y＝x，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.
π
(1)若直线AB的倾斜角为，求直线AB的方程；
3(2)求|AB|的最小值．
解：(1)设直线AB的方程：y＝3x＋m，则
|m－2|1＋(3)
2＝1，
2
所以m＝0或m＝4，所以直线AB的方程为y＝3x或y＝3x＋4. (2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，则所以k＋1＝(m－2).
??y＝kx＋m2由?，得x－kx－m＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－m， 2
?y＝x?
2
2
|m－2|1＋k2
＝1，
所以|AB|＝(1＋k)[(x1＋x2)－4x1x2]＝(1＋k)(k＋4m)＝(m－2)
2
2
2
2
22
(m2＋3)，记f(m)
＝(m－2)(m＋3)，所以f′(m)＝2(m－2)(2m－2m＋3)，
2
2
2
又k＋1＝(m－2)≥1，所以m≤1或m≥3，
2
2
当m∈(－∞，1]时，f′(m)＜0，f(m)单调递减，当m∈[3，＋∞)时，f′(m)＞0，f(m)单调递增，
f(m)min＝f(1)＝4，所以|AB|min＝2.
13.(2019·宁波市高考模拟)已知椭圆方程为＋y＝1，圆
4
x2
2
C：(x－1)2＋y2＝r2.
(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；
(2)如图，直线l与椭圆相交于A、B两点，且与圆C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围．
解：(1)设P(x，y)，|PC|＝（x－1）＋y＝46
由－2≤x≤2，当x＝时，|PC|min＝.
33
(2)当直线AB斜率不存在且与圆C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有2条； 当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0),
2
2
32
x－2x＋2＝43422（x－）＋， 433
??4＋y＝1y－y1x＋x由?，整理得：＝－×，
x－x4y＋yx??4＋y＝1
2
1
11
22
11
22
22
22
x21
则kAB＝－，kMC＝，kMC×kAB＝－1，
4y0x0－1
x0y0
x0y04
则kMC×kAB＝－×＝－1，解得：x0＝，
4y0x0－13
522
由M在椭圆内部，则＋y0＜1，解得：y0＜，
4912222
由：r＝(x0－1)＋y0＝＋y0，
912162
所以＜r＜，解得：＜r＜. 933316所以半径r的取值范围为(，) . 33
x20
x2y23
14．(2019·严州中学月考改编)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，P(m，0)为C的
ab5
441→→
长轴上的一个动点，过P点且斜率为的直线l交C于A，B两点．当m＝0时，PA·PB＝－. 52
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：|PA|＋|PB|为定值． 3b4
解：(1)因为离心率为，所以＝.
5a5
4xya2
当m＝0时，l的方程为y＝x，代入2＋2＝1并整理得x＝.
5ab2设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)， 41241a→→2
PA·PB＝－x2x0＝－·. 0－y0＝－
25252
41xy→→22
又因为PA·PB＝－，所以a＝25，b＝16，椭圆C的方程为＋＝1.
225165xy(2)证明：将l的方程为x＝y＋m，代入＋＝1，
42516并整理得25y＋20my＋8(m－25)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 412222
则|PA|＝(x1－m)＋y1＝y1，
164122
同理|PB|＝y2.
16
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
41224141??4m?216（m2－25）?2
则|PA|＋|PB|＝(y1＋y2)＝[(y1＋y2)－2y1y2]＝·??－?－?
161616??5?25?
2
2
＝41.
所以|PA|＋|PB|为定值．
15.(2019·温州十五校联合体联考)如图，已知抛物线C1：y＝2px(p＞0)，直线l与抛物线C1相交于A、B两点，且当倾斜角为60°1
的直线l经过抛物线C1的焦点F时，有|AB|＝.
3
(1)求抛物线C1的方程； (2)已知圆C2：(x－1)＋y＝
2
2
2
2
2
1
，是否存在倾斜角不为90°的直线l，使得线段AB被圆16
C2截成三等分？
若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)当倾斜角为60°的直线l经过抛物线C1的焦点F时，直线l的方程为y＝3(xp??y＝3（x－）
2，即3x2－5px＋3p2＝0， －)，联立方程组?
242??y＝2pxp5p11所以|AB|＝＋p＝，即p＝，
33812
所以抛物线C1的方程是y＝x.
4
(2)假设存在直线l，使得线段AB被圆C2截成三等分，令直线l交圆C2于C，D，设直线
l的方程为x＝my＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，线段AB与线段CD的中点重合且有
??4y＝x2
|AB|＝3|CD|，联立方程组?，即4y－my－b＝0，
?x＝my＋b?
2
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，x1＋x2＝＋2b，
444
所以线段AB中点的坐标M为(＋b，)，即线段CD的中点为(＋b，)，又圆C2的圆心
8888为C2(1，0)，
mbm2
m2mm2mm所以kMC2＝
m2
8
＝－m，
＋b－1
2
8
7m所以m＋8b－7＝0，即b＝－，
88
2
又因为|AB|＝1＋m·
2
＋b＝ 16
m2
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