两角和与差的正弦、余弦和正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题

1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－

3 2

B.3 2

1C.－

2

1 D. 2

解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°1

sin 10°＝sin 30°＝. 2答案 D

2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1

B.0

C.1

D.2

解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. 答案 D

1

3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝

3( ) 310A.－

10

310 B. 10

3C.－

5

3 D. 5

1

解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－，

3所以sin α＝

10310，cos α＝－， 1010

10?310?3

?＝－，故选C. ×?－

10?510?

所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×答案 C

132tan 14°

4.(2017·河南六市联考)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝

221－tan214°

1－cos 50°

，则有( )

2

A.a＜c＜b C.b＜c＜a

B.a＜b＜c D.c＜a＜b

解析 由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°， ∴c＜a＜b. 答案 D

π?3?

5.(2016·肇庆三模)已知sin α＝且α为第二象限角，则tan?2α＋?＝

4?5?( ) A.－

19

5

B.－

5 19

C.－

31 17

D.－

17 31

424

解析 由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，

525cos 2α＝2cos2α－1＝

7. 25

tan 2α＋tan

π24

－＋1

47π?24?

∴tan 2α＝－，∴tan?2α＋?＝＝＝－

4?7π?24??

1－tan 2αtan1－?－?×1

4?7?17

. 31答案 D 二、填空题

π?1π???

6.(2016·石家庄模拟)若cos?α－?＝，则sin?2α－?的值是________.

3?36???π?π?π????

解析 sin?2α－?＝sin?2?α－?＋?＝

3?2?6????π?π?17??

cos 2?α－?＝2cos2?α－?－1＝2×－1＝－. 3?3?99??7

答案 － 9

π??π3π???π?

7.(2017·南昌一中月考)已知α∈?，?，β∈?0，?，且cos?－α?

4?4??4??4?312?5?

＝，sin?π＋β?＝－，则cos(α＋β)＝________. 513?4?

解析 ∵α∈??π?4，3π??π?3

4??，cos??4－α??＝5，

∴sin??

π?4－α?

?4?

＝－5， ∵sin??5?12?4π＋β??＝－13，∴sin??π?12

?4＋β??＝13，

又∵β∈???0，π?4??π?5

?，∴cos??4＋β??＝13

，

∴cos(α＋β)＝cos?????π?4＋β???π??35412

33?－??4－α????＝5×13－5×13＝－65.

答案 －

33

65

8.已知θ∈???0，π?2??，且sin?

??θ－π?4??＝210，则tan 2θ＝________.

解析 sin?

??

θ－π?4??＝210，得sin θ－cos θ＝15，①

θ∈?

?

?0，π?2??，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝42tan θ24

3，tan 2θ＝1－tan2 θ＝－7.

答案 －24

7 三、解答题

9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1). (1)若a⊥b，求

sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；

(2)若|a－b|＝2，θ∈???0，π?2??，求sin?

?π??θ＋4??的值.

解 (1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ， 所以

sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝1

3

. (2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，

|a－b|＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝ 6－4cos θ＋2sin θ＝2， 即1－2cos θ＋sin θ＝0.

π??

又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈?0，?，

2??34

所以sin θ＝，cos θ＝.

55

π?22?34?72?θ＋?＝(sin θ＋cos θ)＝?＋?＝所以sin?. 42?55?10??210.设cos α＝－

513ππ

，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值. 5322

53π25

，π<α<，得sin α＝－，tan α＝2，525

解 法一 由cos α＝－1

又tan β＝，

3

于是tan(α－β)＝

tan α－tan β＝

1＋tan αtan β2－

13

1

1＋2×

3

＝1.

又由π<α<0<β<

3π， 2

πππ3π可得－<－β<0，<α－β<， 2222

5π

. 4

53π25，π<α<得sin α＝－. 525

因此，α－β＝

法二 由cos α＝－

1π13

由tan β＝，0<β<得sin β＝，cos β＝.

321010所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ?25??3??25??1?

?－???－?－???＝－.

25??10??5??10??

又由π<α<

3ππππ3π

，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β22222