（D）与T成正比； （E）与T成反比。 解：(C)z?2vn?d2?28RTp8R
?d2?2?d2p?MmolkT?MmolT4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为 （ ）
（A）kT/4； （B）kT/3； （C）kT/2； （D）3kT/2； （E）kT。 解：(C)
5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）
（A）部分势能和部分动能； （B）全部势能； （C）全部转动动能； （D）全部平动动能； （E）全部振动动能。
解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0
6． 1mol双原子刚性分子理想气体，在1atm下从0℃上升到100℃时，内能的增量为 （ ）
（A）23J； （B）46J； （C）； （D）； （E）12500J。 解：(C)?E?二、填空题
1．f(?)为麦克斯韦速率分布函数，
Mi5R?T?1??8.31?100?2077.5J
Mmol22???pf(?)d?的物理意义是_____________，??0m?2f(?)d?的物理意2义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。
??dN?dN解：f(v)dv?dv??vp?vpNdv?vpN,vp~?速率区间内分子数占总分子数的百分率;
22??mv?mvdN,速率区间内分子的平均平动动能; 0~??0f(v)dv?1;速率在0~?内的分子数?02f(v)dv ??02N 占总分子数的比率为1。
2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为f(?)1_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或“氧
气”）。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T1和
2T2且T1 molpMmol?ovp大?T1 3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________；分子内原子间的振动自由度为__________。解：3;2;0 4．在温度为27℃时，2mol氢气的平动动能为 ，转动动能为 。 3kT?3RT?3?8.31?300?7479J 2分子转动自由度2, 转动动能为2NA?kT?2RT?2?8.31?300?4986J 解：分子平动自由度3, 平动动能为2NA?k?2NA?5． 1mol氧气和2mol氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。 解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此 55Mi??kT??1.38?10?23?273?9.42?10?21J;??9.42?10?21J; E?RT ?1:2 22Mmol26．2 mol氮气，由状态A(p1,V)变到状态B(p2,V)，气体内能的增量为__________。 解：内能E?Mii5RT?PV,内能的增量?E?(P2?P1)V Mmol222三、计算题 1?． 设氢气的温度为300℃。求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数N1与速率在?p到?p+10m/s之间的分子数N2之比。 解：根据麦克斯韦速率分布函数可得 ?Nm3/2?2kT24v2?(vp)?v(分子的质量为m) ?4?()ev?v?()eN2?kTvp?vp2mv2vN1?N430002)e?vp(?(30002)vpN130002?(104?110?()e，,N2?NeNvvpvp?2p30002)vp?e, vp?2RT/Mmol? N130002?(2183)2?()e?e?0.78, ?2183m/s，N22183?(mghkT)30002．假定大气层各处温度相同均为T，空气的摩尔质量为Mmol，试根据玻尔兹曼分布律n?n0?e明大气压强p与高度h(从海平面算起)的关系是h?地面的75%。 解：p?nkT?n0kTe?mgh/kT，证 pRT?ln0。并求上升到什么高度处，大气的压强减到 Mmolgp?p0e?mgh/kT,h?RTpln0(分子的质量为m) Mmolgp3?．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N个自由电子。电子气中电子的最大速率?F 叫做费米速率。电子的速率在?与?+d?之间的概率为： 式中A为归一化常量。（1）由归一化条件求A。（2）证明电子气中电子的平均动能?k此处EF叫做费米能。 33NdN3v2dvA4?v2Adv4?vFA?解：(1)?f(v)dv?1, ???1，?3 3,004?vFN3NNvFVF13VFv4dv3?12?32(2)?k???mvF??EF 3?02mvf(v)dv?2m?0vF5?2?53132?(m?F)?EF，525?vF4．今测得温度为t1＝15℃，压强为p1＝ m汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：?Ar＝ ×10?8 m和?Ne=×10?8 m，求： (1) 氖分子和氩分子有效直径之比dNe / dAr＝？ (2) 温度为t2＝20℃，压强为p2＝ m汞柱高时，氩分子的平均自由程?Ar＝？ 2?ArdNedNe?Ar6.71解：(1)??, ,????0.712 22d?13.2?d2?dnArNeNeAr??Tp293?0.76kT??5.15?Ar?3.45?10?7m (2) ??,Ar?2?1?， ?Ar?5.152?d2p?Arp2T10.15?2885．真空管的线度为 /10?2m，其中真空度为1.33?10?3pa，设空气分子的有效直径为3?10?10m。求： （1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。 p1.33?10?3解：(1)n???3.21?1017个/m3,(2)v?8RT?8?8.31?300?467m/s， ?23kT1.38?10?300?Mmol3.142?0.02891z?2?d2vn?2?3.14?9?10?20?467?3.21?10?17?59.7s?1 ，(3)??v??7.82m 2z2?dn练习 二十一 知识点：热力学第一定律及其应用、绝热过程 p(atm)A3一、选择题 21． 如图所示为一定量的理想气体的p—V图，由图可得出结论 ( C ) 1（A）ABC是等温过程； （B）TA>TB； o（C）TA 解：(C)pAVA?pCVC?TA?TC;过A、C作等温线,B在过A、C的等温线之上。 BCV(10?3m3)1232． 一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ D） （A）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； （B）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强； （C）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； （D）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。 解：(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。 3． 气体的摩尔定压热容Cp大于摩尔定体热容CV，其主要原因是 （ C ） （A）膨胀系数不同； （B）温度不同； （C）气体膨胀需作功； （D）分子引力不同。 解：(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程QV??E;对等压过程Qp??E?A。 4． 压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 （ C ） （A）1:1； （B）5:9； （C）5:7； （D）9:5。 解：(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式: Qp?QRAOMMR/(7RT/2)5Cp?T,A?p?V?R?T?A?p?2??。 MmolMmolCpAHeR/(5RT/2)75． 一摩尔单原子理想气体，从初态温度T1、压强p1、体积V1，准静态地等温压缩至体积V2，外界需作多少功？ （ B ） （A）RT1ln(V2/V1)；（B）RT1ln(V1/V2)；（C）p1(V2?V1)；（D）(p2V2? p1V1)。 解：(B)pV?MVVRT,A外???pdV??MRT1?1dV?MRT1lnV1 。 VVVMmolMmolMmolV22211pa6． 在p—V图上有两条曲线abc和adc，由此可以得出以下结论： b（D） d（A）其中一条是绝热线，另一条是等温线；（B）两个过程吸收的热量相同； cV（C）两个过程中系统对外作的功相等；（D）两个过程中系统的内能变化相同。 o解：(D)对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 7． 1mol的单原子分子理想气体从状态A变为状态B，如果不知是什么气体，变化过程也不知道，但A、B两态的压强、体积和温度都知道，则可求出： （ D ） pb(A) 气体所作的功； (B) 气体内能的变化； p1(C) 气体传给外界的热量； (D) 气体的质量。 解：(B) 对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 cp0a二、填空题 V1． 一定量的理想气体从同一初态a(p0,V0)出发，分别经两个准静态过程ab和ac，b点的oV0V1压强为p1，c点的体积为V1，如图所示，若两个过程中系统吸收的热量相同，则该气体的 比热容比? =Cp/CV=_________________。 pM解：Qab?MCV(Tb?Ta), Qac?, Cp(Tc?Ta)cbMmolMmolpV?CMpV?pV?p/p?1?pV?pV RT, ?CV?10?00??Cp?01?00?,??p?10MmolR?R?CVV1/V0?1?R?RaodV2． 如图所示，一理想气体系统由状态a沿acb到达状态b，系统吸收热量350J，而系 统做功为130J。 （1）经过过程adb，系统对外做功40J，则系统吸收的热量Q=____________。 （2）当系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统做功为60J，则系统吸收的热量Q=________。 解：根据热力学第一定律求解:?Eab?Qacb?Aacb?350?130?220J, Qadb?Aadb??Eab?40?220?260J,Qba?Aba??Eba??60?220??280J 3?． 对下表所列的理想气体各过程，并参照下图，填表判断系统的内能增量?E，对外作功A和吸收热量Q的正负（用符号?，?，0表示）： p绝热线p过程 A Q ?E acd等温线等体减压 0 ? ? 等压压缩 ? ? ? abbc绝热膨胀 + 0 ? VVoo图(a) a→b→c 0 ? ? 图(a)图(b)a→b→c ? + ? 图(b) a→d→c ? + + 4．不规则地搅拌盛于绝热容器中的液体，液体温度在升高，若将液体看作系统，则： (1) 外界传给系统的热量_________零；(2) 外界对系统作的功__________零； (3) 系统的内能的增量___________零；（填大于、等于、小于） 解：等于零；大于零；大于零； 5．压强、体积和温度都相同的氢气和氦气(均视为刚性分子的理想气体)，它们的质量之比为m1∶m2 =__________，它们的内能之比为E1∶E2 =__________，如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外作功之比为A1∶A2 =__________。(各量下角标1表示氢气，2表示氦气) 解：pV?mM21miiEi5mRT?pV,1?1?; RT,1?1mol??;E?m2M2mol42Mmol22E2i23MmolQpRmm,?A?R?TQp?Cp?TA?p?V?MmolCpMmol三、计算题 ? AO2AHe?R/(7RT/2)5? R/(5RT/2)71． 标准状态下的氮气，压缩为原体积的一半，分别经过（1）等温过程，（2）绝热过程，（3）等压过程。试计算在这些过程中气体内能的改变、吸收的热量和对外界所作的功。 解：(1) 等温过程，内能不变， ?E?0 吸收的热量和对外界所作的功Q?A?VM1RTln2?0.5?8.31?273?ln??786J MMolV12??1?V?T??1??1(2) 绝热过程，根据绝热方程2??1??2,T?2T1?360K, 2?T1?V?2?MM55内能的改变?E?CV?T?R?T?0.5??8.31?(360?273)?904J MMolMMol22吸收的热量Q?0, 对外界所作的功A???E??904J (3)等压过程 V1V1V2?，T2?2T1?T1 T1T2V12MM55273CV?T?R?T?0.5??8.31?(?273)??1418J MMolMMol222MM273气体对外界所作的功为A?p?V?R?T?R?T?0.5?8.31?(?273)??565J MMolMMol2内能增量?E?吸收的热量为 Q??E?A??1983J 2． 2 mol双原子分子理想气体从状态A(p1,V1)沿p ?V图所示直线变化到状态B(p2,V2)，试求： (1) 气体的内能增量；(2) 气体对外界所作的功；(3) 气体吸收的热量； 解：(1) 内能增量?E?MiR(T2?T1)?5(p2V2?p1V1) Mmol22 (2) 功等于直线AB下的面积A?1(p2V2?p1V1) 2 (3) 根据热力学第一定律得 Q?A??E?3(p2V2?p1V1) 3．如果一定量的理想气体，其体积和压强依照V?a/p的规律变化，其中a为已知常量。试求： (1) 气 体从体积V1膨胀到V2所作的功； (2) 气体体积为V1时的温度T1与体积为V2时的温度T2之比。 解：A??V2V1pdV??V2V1T1V2a2Ma21?2?1??， , ???pV??RTdV?a?2??TVVMmolV21?V1V2???14． 有单原子理想气体，若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率变为原来的速率的几倍？若为双原 子理想气体，又为几倍？ 解：根据绝热方程T1V1??1?T2V2??1?V?T由题意知，2??1??T1??V2???12?2??1 8RT得,v2?T2?2根据平均速率公式v?v1T1?Mmol单原子? ?i?27v2i?25v2?,?21/5?1.15 ?,?21/3?1.26;双原子??i5v1i3v15．温度为27℃、压强为1 atm的2 mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。 (1) 计算这个过程中气体对外所作的功； (2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程中的功 A?MVRTln2?2?8.31?300?ln3?5478J MMolV1??1T?V?(2) 根据绝热方程得 2??1??T1??V2?1?3??1,T2?3???1T1?3?7/5?1T1?0.644?300?193K p 绝热过程 A??E?0 6．气缸内有2 mol氦气，初始温度为27℃，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨胀，直至体积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体。试求：在p―V图上大致画出气体的状态变化过程； (2) 在这过程中氦气吸热多少？ (3) 氦气的内能变化多少？(4) 氦气所作的总功是多少？ 12绝热线3等温线VO解：(1) 如图 V1V2M5?，T2?2T1?600K,Q12?Cp(T2?T1)?2??8.31?300?12465J T1T2Mmol2绝热过程Q23?0, 因此Q?Q12?Q23?12465J (3) 因始末状态温度相同, ?E?0 (4) 根据热力学第一定律Q??E?A得 A?Q?12456J (2) 等压过程 练习 二十二 知识点：循环过程、卡诺循环、热机效率、热力学第二定律、熵 一、选择题 1． 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小（图中阴影部分）分别为S1和则两者的大小关系为： （ ） （A）S1>S2； （B）S1 pS2， 1S2V解：(C)绝热过程A???E,内能改变相同,功相等,功的大小等于曲线下的面积. o2． “理想气体与单一热源接触作等温膨胀时，吸收的热量全部用来对外作功。”对此说法，有如下几种评论，哪个是正确的？ （ ） （A）不违反热力学第一定律，但违反热力学第二定律； （B）不违反热力学第二定律，但违反热力学第一定律； （C）不违反热力学第一定律，也不违反热力学第二定律； （D）违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律。 解(C)热力学第一定律说明任何过程能量守恒,热力学第二定律说明并非能量守恒的过程都能实现.热力学第二定律的开尔文表述中强调的是不可能制成一种循环动作的热机… 3． 一热机由温度为727℃的高温热源吸热，向温度为527℃的低温热源放热，若热机在最大可能效率下工作、且吸热为2000焦耳，热机作功约为 （ ） （A）400J； （B）1450J； （C）1600J； （D）2000J； （E）2760J。 解 (A)A?1?T2?1?800?0.2,A?0.2Q?400J QT11000S4． 在功与热的转变过程中，下面的那些叙述是正确的？ （ ） （A）能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用功； （B）其他循环的热机效率不可能达到可逆卡诺机的效率，因此可逆卡诺机的效率最高； （C）热量不可能从低温物体传到高温物体； （D）绝热过程对外作正功，则系统的内能必减少。解 (D)Q?A??E 5?． 1mol单原子理想气体从初态（p1、V1、T1）准静态绝热压缩至体积为V2其熵 （ ） （A）增大； （B）减小； （C）不变； （D）不能确定。 解 (C)准静态绝热过程是可逆的,可逆的绝热过程是等熵过程. 6?． 一定量的理想气体向真空作自由膨胀，体积由V1增至V2，此过程中气体的 （ ） （A）内能不变，熵增加； （B）内能不变，熵减少； （C）内能不变，熵不变； （D）内能增加，熵增加。 解(A)自由膨胀过程是不可逆的,对可逆过程才能把dQ/T理解为熵的变化.自由膨胀过程中内能不变,温度不变,熵是状态的单值函数,可设想一等温过程求自由膨胀过程中的熵变. 二、填空题 1． 一卡诺热机（可逆的），低温热源为27℃，热机效率为40%，其高温热源温度为________K。今欲将该热机效率提高到50%，且低温热源保持不变，则高温热源的温度增加________K。500K，100K 2． 有v摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba，其中acb为半圆弧，ba为等压过程，pc=2pa，在此循环过程中气体净吸收热量为Q=_______vCp (Tb?Ta)。（填：>、<或=）。 解：?.由功的大小与p?V图上曲线下的面积关系讨论 pcpaopcabVVbVaQacba?Aacba?2pa(Vb?Va)?pa(Vb?Va)?pa(Vb?Va),Qab??CV(Tb?Ta)?pa(Vb?Va) 3?．使4mol的理想气体，在T=400K的等温状态下，准静态地从体积V膨胀到2V，则此过程中，气体的熵增加是__________，若此气体膨胀是绝热状态下进行的，则气体的熵增加是________。解:23J/K，0 4?．从统计意义来解释：不可逆过程实质是一个____________________的转变过程。一切实际过程都向着______________________的方向进行。解:概率，概率大的状态 5．热力学第二定律的两种表述：开尔文表述： 。克劳修斯表述： 。 解:开尔文表述:不可能制成一种循环动作的热机,只从一个热源吸取热量,使之完全变为有用的功，而其他物体不发生任何变化．克劳修斯叙述:热量不可能自动从低温物体传向高温物体.
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