极值点偏移问题专题（ 0 ）—— 偏移新花样（拐点偏移）
例 1 已知函数 f x
2ln x x2 x ，若正实数 x1 ， x2 满足 f x1 +f x2 =4 ，
求证 : x1 x2
2 。
证明： 注意到 f
1 =2 ， f x1 +f x2 =2f 1
f x1 +f x2 =2f 1 f2 1
x =
0
x+2x
f2
x =
f x 图像的拐点， 若拐点（ 1,2 ）也是 f
x
2
2 ， f 1 =0 ，则（ 1,2 ）是
对称中心，则有
x1 x2 =2 ，证明 x1 x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下
想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏 移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0
x1 1 x2 ，要证
x1 x2 2
x2 2 x1 1 f x2 f 2 x1
4 f x1 f 2 x1
4 f x1
f 2 x1
F x
f x
f 2 x ， x
0,1 ，则
F x
f x f 2 x
2 2x 2
x
1
2 x2 2
x 1
1
x 的
4 1 x
1
x 2
x
1 0 ，
得 F
x 在 0,1 上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。
2 、极值点偏移 PK 拐点偏移常规套路 1 、 极值点偏移（
f x0
0 ）
二次函数
f x1 f x2
0
x1 x2 2x0
fx
1
fx
2
x
2
2x x
0
1
x1 x2
2 、拐点偏移
2x0
f x0
f x1 f x2 2 f x0
x1 x2 2x0
f x1 f x2 2 f x0
x2 2x0 x1
x1 x2 2x0
极值点偏移问题专题（ 1 ）—— 对称化构造（常规套路）
例 1 （ 2010 天津）
已知函数
f x
xe x ．
（ 1 ）求函数 f x 的单调区间和极值；
（ 2 ）已知函数 g x 的图像与 f x 的图像关于直线 x 1 对称，证明：当 x 1时，
2
f x g x ；
x2 ，且 f x1
（3 ）如果 x1 f x2 ，证明：
x1 x2 2．
点评 ：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法—— 对称化构造的全过程，直观展示如下：
例 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数 证明 x1 x2 2 ．
f x xe x ，已知 f x1
f x2 ， x1 x2 ，
再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1 ） x1 ， x2 的范围 （2 ）不等式 f x
0 x1 f 2
x
1 x2 ； x 1 ；
3
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