1.1 锐角三角函数(第1课时)教学设计1

活动效果：学生可以很快用不同的方法从图1—1和图1—2中分辨出哪个梯子更陡.但对于图1—3，学生则普遍感到有一定难度.教师通过运用几何画板的演示活动，引导学生比较对边与邻边的比，来比较梯子的倾斜程度.学生会发现这是个新的知识，需要利用这个新的知识来认识梯子的倾斜程度，这为引入本节课的知识点——正切值埋下了伏笔.

第二环节 探求新知

活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？

图1—4

如图1-4，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？

（1）Rt?AB1C1和Rt?AB2C2有什么关系？ （2）

B2C2BC和11有什么关系？ AC1AC2（3）如果改变B2在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？

活动目的：通过对前面问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度.这个活动旨在说明，当倾斜角确定时，其对边与邻边之比也随之确定.这一比值只与倾斜角度有关，而与直角三角形的大小无关.

教学效果：学生能借助三角形相似的知识理解两个比的关系，通过简单推理

获得结论：B2C2B1C1BCBC，并能发现如果改变B2在梯子上的位置，仍有22?11.?AC2AC1AC2AC1能理解这个关系之所以不变，是由于锐角?B1AC1不变的原因，为学生理解下面的知识：用对边与邻边的比来定义正切，奠定了基础.

活动内容2：结合活动内容1，请同学们思考：既然直角三角形中，一个锐角一旦确定，它的对边与邻边的比也随之确定.那么这个确定的比我们能不能用一个数学符号来表示呢？

数学上，我们把这个确定的比叫做一个锐角的正切.如图1—5，我们把?A的对边与?A的邻边的比，叫做?A的正切（tangent），记作tanA.即

tanA??A的对边

?A的邻边B?A的对边

A?A的邻边

图1—5

C

对于正切的定义，同学们必须明确以下几点：

1.tanA 中常省略角的符号“∠”.用希腊字母表示角时也可省略如：

tan?、tan?等.但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan?BAC或tan?1、tan?2等；

2、tanA没有单位，它表示一个比值；

3、tanA是一个完的整数学符号，不可分割，不表示“tan”乘以“A”； 4、一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tanA?能在直角三角形中适用；

?A的对边只

?A的邻边请同学们思考，梯子的倾斜程度与tanA的值有关吗？

tanA的值越大，梯子越陡

活动目的：通过对直角三角形中边角关系的探索，合理的引出正切的定义；通过对定义的辨析，发展学生的符号感；通过探究梯子的倾斜程度与tanA的值的关系，渗透数形结合的数学思想；进一步体会正切的意义和与现实生活的联系.

教学效果：通过观察、探索梯子的倾斜程度自然的引出了正切的定义，能理解规定tanA??A的对边的合理性，经历了由形到数的过程；通过探索结论

?A的邻边“tanA的值越大，梯子越陡”体验了由数到形的过程，体会到利用数形结合的思想是解决数学问题的常用方法.

第三环节 应用与拓展

活动内容1：

例题1：图1—6表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手扶电梯比较陡？

4m8m（甲）13mα图1—6

β（乙）5m

活动目的：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度，这是对第二环节中得出结论的直接运用，旨在巩固正切的定义以及发展学生的数学应用意识.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力

教学效果：学生经历了观察、探索等数学活动过程，发展了合情推理的能力，并都能通过简单的计算得出结论，而且能有条理、清晰地阐述自己的观点.

活动内容2：

认识坡角、坡度（坡比） 坡角：坡面与水平面的夹角；

60mα100m图1—7

坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比，因此坡度（坡比）就是坡角的正切.

如图1—7，有一山坡在水平方向上每前进100m米就升高60m，那么山坡的坡角是?，坡度（坡比）就是：tan??603? 1005教学目的：认识坡角、坡度（坡比），理解坡度（坡比）其实质就是坡角的正切.体会数学与实际生活的联系.

教学效果：通过工程学上的例子，学生能理解正切、倾斜程度、坡度的数学联第，加强了数学与生活的联系，发展了学生的数学应用意识.

第四环节 变式练习

活动内容：

?C?90，AC?6，1、如图1—8，在?ABC中，若tanA?3，则AC= ； 42、如图1—9，在?ABC中，AC?AB?10，BC?16，则tanB? ；

BAACB图1—9

C图1—8

3、如图1—10,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m.求山坡的坡度(结果精确到0.001m).

图1—10

活动目的：为学生运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题提供资源，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法.让学生尝试用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，学会运用正切的