（2）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ=X?Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）． 【分析】（1）由题意这4人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地旅游的概率为，设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件A（1，2，3，4），P（Ai）=ii=0，
，
由此能求出这4个人恰好有1个人去A地的概率．
（2）由题意ξ的可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）． 【解答】解：（1）由题意这4人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地旅游的概率为， 设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件Ai（i=0，1，2，3，4）， ∴P（Ai）=
，
∴这4个人恰好有1个人去A地的概率： P（A1）=
=
．
（2）由题意ξ的可能取值为0，3，4， P（ξ=0）=P（A0）+P（A4）=P（ξ=3）=P（A1）+P（A3）=P（ξ=4）=P（A2）=∴ξ的分布列为： ξ 0 P Eξ=
═
=+，
，
=
，
3 =．
4 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．
19．（12分）（2016?河南校级二模）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1． （Ⅰ）求证：A1B⊥AD； （Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得
=
、∠DAB=∠DAA1，利用
=0即得
A1B⊥AD；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可． 【解答】（Ⅰ）通过条件可知
=
、∠DAB=∠DAA1，利用
=即得A1B
⊥AD；
（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1， 由题意知DO⊥平面ABB1A1．
因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，
故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴 的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示． 设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，所以B1（0，由
=a，从而A（0，
a，0），D（0，0，a），所以可得C（a，
a，a），所以
=
，
a，0），B（a，0，0）， =（﹣a，=（a，
a，0）．
a，﹣a），
设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），
由?=?=0，得，
取y0=1，则x0=，z0=
，所以=（，1，）．
又平面ABB1A1的法向量为所以
=
=D（0，0，a），
=
=
，
故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为
．
【点评】本题考查二面角，空间中两直线的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．
20．（12分）（2016?太原校级二模）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，
0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围； （3）过椭圆C1：
+
=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x+y=的两条切线，
2
2
切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：
+
为定值．
【分析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可； （2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据∠AOB为锐角，得到
?
＞0，即x1x2+y1y2＞0，即可确定出k的范围；
（3）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值． 【解答】解：（1）由题意得：c=1， 22
∴a=b+1，
又因为点P（1，）在椭圆C上，
∴+
2
=1，
2
解得：a=4，b=3， 则椭圆标准方程为
+
=1；
（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立
，消去y得：（4k+3）x+16kx+4=0，
2
2
∵△=12k﹣3＞0，∴k＞， ∴x1+x2=﹣
，x1x2=
?
，
＞0，即x1x2+y1y2＞0，
2
22
∵∠AOB为锐角，∴
∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0， 整理得：（1+k）?
2
2
+2k?
2
+4＞0，即＞0，
整理得：k＜，即＜k＜， 解得：﹣
＜k＜﹣或＜k＜
；
（3）由题意：C1：
+=1，
设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3）， ∵M，N不在坐标轴上，∴kPM=﹣
=﹣
，
∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣（x﹣x2），
化简得：x2x+y2y=④，
同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=⑤，
把P点的坐标代入④、⑤得，
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