例14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E． (1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（三）正方形
1、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形 2、正方形的性质：
①边：四条边都相等；②角：四角都是直角；
③对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分每组对角。 3、正方形的判定方法：
（1）平行四边形?一组邻边等?一个直角??（2）菱形?一个直角??四边形ABCD是正方形.
?（3）矩形?一组邻边等? (四）三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图:∵DE是△ABC的中位线
1 ∴DE∥BC，DE=BC
2 第十九章 一次函数
一.常量、变量：
在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做 ；数值始终不变的量叫做 。 例1．长方形相邻两边长分别为x、y，面积为30，则用含x的式子表示y为_______ _，则这个问题中，_________常量；________是变量．
例2．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是（ ）
A．Q=8x B．Q=8x-50 C．Q=50-8x D．Q=8x+50 例3．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．
（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系． （2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．
（3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 函数的判断：对每一个自变量x是否只有唯一的一个函数值y和它对应。 三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。 （3）用二次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数。
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（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
例4．一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km． （1）写出表示y与x的函数关系的式子． （2）指出自变量x的取值范围．
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 五、用描点法画函数的图象的一般步骤（一般取五个点） 1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。 六、函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
例5．下面的图象反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离． 根据图象回答下列问题：
（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？ （2）小明给菜地浇水用了多少时间？
（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？ （4）小明给玉米地锄草用了多少时间？
（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
七、正比例函数
1、定义：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 特征：（1）k为常数，且k≠0（2）自变量的次数是1 (3)自变量的取值范围为全体实数。 2、图象:
（1)正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。必过点：（0，0）、（1，k）
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
1例6．正比例函数y=kx，（1）若比例系数为-，则函数关系式为___ ； （2）
3若点经过（5，-1），则函数关系式___ ．
例7．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．
例8．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
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A．y1>y2 B．y1 1、定义：一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 特征：（1） k不为零（2）x指数为1（3）自变量的取值范围为全体实数（4）b取任意实数 2x例9．在①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x，⑤y=5x2+6中， y是x的一次函数的是___ x8例10．已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）． (1)当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围． (2)当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围． 2.函数图象： b（1）一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直 k线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （2）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位； 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. b（3）必过点：（0，b）和（-，0） k（4）一次函数y=kx＋b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. b>0 b<0 b=0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 k>0 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 8 图象从左到右下降，y随x的增大而减小 九、当直线y=k1x+b1与y=k2x+b2平行时，k1=k2且b1 ?b2 例11．选择题 1.下列一次函数中y随x值的增大而减小的（ ） A．y=2x+1 B．y=3-4x C．y=2x+2 D．y=（5-2）x 2.y=3x与y=3x-3的图象在同一坐标系中位置关系是（ ） A．相交 B．互相垂直 C．平行 D．无法确定 3.一次函数y=-2x-3的图象不经过（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例12．填空题 11.把直线y=x+1向上平行移动3个单位,得到的图象的关系式是 212.直线y=-x+1经过点（0，____）与点（ ，0）． 2十、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未 知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 例13．已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式． 例14．已知一次函数的图象经过点A（-3，2）、B（1，6） ①求此函数的解析式，并画出图象． ②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积． 例15．如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系图象． ①根据图象，写出当x≥3时该图象的函数关系式； ②某人乘坐2.5km，应付多少钱？ ③某人乘坐13km，应付多少钱？ 9 ④若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？ 十一、一次函数与方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程： 求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解 从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0．从“形”的角度看，直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标 2.一次函数与一元一次不等式： 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 3.一次函数与二元一次方程组： ?a1x?b1y?c1解方程组 ????a2x?b2y?c2 从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数值相等．并求出这个函数值；从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标. 例16．某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满后，油箱中的剩油量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系式如图，根据图象所提供的信息，回答下列问题： （1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ （2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？ （3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后摩托车将自动报警． 5 例22．如图，利用y=- x+5的图像，求出： 2 y 5 5 （1）方程- x+5=0的解； 4 2 3 5 （2）不等式- x+5＞0的解集； 2 2 1 5 （3）不等式- x+5≤0的解集； 2O 1 2 3 X -1 5 （4）不等式- x+5＞5的解集； 2 y/升108642O100200300400500x/千米?x?y?15例23．解方程组?解为________，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是________． ?x?y?7例24．一种节能灯的功率为10瓦（0.01千瓦），售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦，售价为3元.两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）.如果电费价格为0.5元/（千瓦·时），消费者选用哪种灯可以节省费用？（提示：总费用=用电费+灯的售价） 10
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