面直线)
6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离．典型例题 例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点．
(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；(2) 求AB和CD间的距离．证明：(1) 连结CE、DE
A E AC?BC?AB?CE??AD?BD?? ??AB⊥面CDEAB?DE?AE?BE??B
F
D
∴AB⊥EF 同理CD⊥EF
∴EF是AB和CD的公垂线
2C
(2) △ECD中，EC＝a2?b＝ED
4∴EF＝a2?b22变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。
3 FG＝EG＝1
S 例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
2且?ASB＝?BSC＝?CSA＝?，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
BN＝5a NQ＝1SM＝2a BQ＝14a
22N C
A B M 44BN2?NQ2?BQ210?∴COS∠QNB＝
2BN?NQ5∴∠QNB＝arc cos10
5变式训练2：正?ABC的边长为a，S为?ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别
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是SC和AB的中点．
(1) 求异面直线SC和AB的距离； (2) 求异面直线SA和EF所成角． 答案：(1)
2a 2 (2) 45°
D1 A1
D A
M
N
C B
C1 B1 P
例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P 分别为A1B1、BB1、CC1的中点．
(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角； (2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离． 解：(1) D1P与AM成90°的角 CN与AM所成角为arc cos2.
5(2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点， 若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角． 解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角．
设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝B1M＝6， cos∠GNA＝
6?5?530。 ?102?6?5BC1 M N A
B C A
例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底 面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF． (1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值． （1）证明：∵EF∥CD AM∥CD
∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形 ∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD
∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线．
(2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得AE＝(0，
AB＝(1，0，0)
P E A M B
C F D
93，)， 1010面MFEA的法向量为k＝(0，1，－3)，AC＝(1，1，0)，cos
5．∴ AC与面EAM10
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所成的角为
55?－arc cos，其正弦值为．
10102变式训练4：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中， E、F分别是BB1、CD的中点． （１）证明AD?D1F； （２）求AE与D1F所成的角。
（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1 又DF1?DC1，所以AD⊥D1F. （2）取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°, 即直线AE与D1F所成的角为直角。 小结归纳
1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义； (3)求角．
2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法． 3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．
D1A1B1EDAFBC1C第3课时 直线和平面平行
基础过关 1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 直线在平面内，有 公共点． 直线和平面相交，有 公共点． 直线和平面平行，有 公共点．
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外． 2．直线和平面平行的判定定理
如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理
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如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)
典型例题 例1．如图，P是?ABC所在平面外一点，M?PB， 试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据． 解：在平面PBC内过M点作MN∥BC，交PC于N点， 连AN则平面AMN为所求
根据线面平行的性质定理及判定定理
变式训练1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN． 求证：MN∥平面BB1C1C．
证明：在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1 在面AC内作NN1∥AB交BC于N1 易证MM1 NN1即可
例2. 设直线a∥?，P为?内任意一点，求证：过P且平行a的直线?必在平面?内． 证明：设a与p确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a 又a∥l l∩a'＝p ∴a与a'重合 ∴l?α
变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 解：已知α∩β＝l a∥α a∥β 求证：a∥l 证明：过a作平面γ交平面α于b，交平面β于C， ∵a∥α，∴a∥b
同理，∵a∥β ∴a∥c ∴b∥c 又∵b?β 且c?β ∴b∥β 又平面α经过b交β于l ∴b∥l且a∥b ∴a∥l
例3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
( 1 ) 证明：PA∥平面EDB； ( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值． (1 ) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO． - 8 - P M A
C
B
P E C D A B
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