( 2) 解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF．
设正方形ABCD的边长为a．∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC． ∴ EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD， BF为BE在底面ABCD内的射影， ∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中，BF＝BC2?CF2?∵ EF＝PD＝tan∠EBF＝
125a 2A F
B
G
C
E H D
a，∴ 在Rt△EFB中， 25EF5?．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为． BF55变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱 AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？ 解：易证截面EFGH是平行四边形
设AB＝a CD＝b ∠FGH＝α(a、b为定值，α为异面直线AB与CD所成的角) 又设FG＝x GH＝y 由平几得 x?CG y?BG
aCBbBC∴x?y＝1 ∴y＝b(a－x)
aba∴S□ EFGH＝FG·GH·sinα＝x·b(a－x)sinα
a＝bsin?x(a－x)
a∵x＞0 a－x＞0 且x＋(a－x)＝a为定值 ∴当且仅当 x＝a－x
即x＝a时(S□ EFGH)max＝absin?
24例4．已知：?ABC中，?ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将?ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD． 证明：取A'C的中点N，连MN、DN， 则MN 1BC，DE 1BC
22∴MN DE ∴ME∥ND 又ME?面A'CD ND?面A'CD ∴ME∥面A'CD
变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点． ( 1 ) 求证：AC⊥BC1；
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(2) 求证：AC1∥平面CDB1；
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5．
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；
A A1 C1 B1
C D
B
（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1 ∴DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；
（3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝22，∴cos∠CED =
1282?22?52?22 512521252∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
小结归纳 22． 51．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．
2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．
第4课时 直线和平面垂直
基础过关 1．直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直． 2．直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线和平面垂直性质 若a⊥?，b??则 若a⊥?，b⊥?则 若a⊥?，a⊥?则
过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 4．点到平面距离
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过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离． 5．直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离． 典型例题 例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为?ABC的垂心．求证：OG?平面ABC． 证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直 ∵OA⊥平面OBC ∴OA⊥BC 又G为△ABC的垂心 ∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG ∴BC⊥OG
同理可证：AC⊥OG 又BC∩AC＝C ∴OG⊥平面ABC
变式训练1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF． 证明：(1) (2)
BC?AB??BC?SA?A O B G C
S
F E
A
B
C
?BC⊥面SAB ?AE⊥面SBC
?SC⊥面AEF?SC⊥EF
BC?AE?由(1)有?AE?SB?AE?SC??AF?SC?(3) 由(2)有
例2 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点． (1) 求证：MN⊥CD；
(2) 若?PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．
证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R ∵N为PC中点 ∴NO为△PAC的中位线 NO∥PA 而PA⊥平面ABCD ∴NO⊥平面ABCD
∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形 M为AB中点，O为AC中点 ∴MO⊥CD ∴CD⊥MN
(2) 连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA 又O为MR的中点，且NO⊥MR
∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45° ∴∠MNR＝90° ∴MN⊥NR 又MN⊥CD ∴MN⊥平面PCD
变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB．
B
A M
C N
D
P
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求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC． 证明：略
例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别
P
为CD、PB的中点． (1) 求证：EF⊥平面PAB；
(2) 设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小． (1) 证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在 平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC， ∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE ∵F为PB中点，∴EF⊥PB．
由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA， ∴EF⊥FA．
∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB．
(2) 解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝2，PA＝2，AC＝3．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF．
∠GAH为AC与平面AEF所成的角．
由△EGC∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝由△EGH∽△BGF可知GH＝BF＝ ∴sin∠GAH＝
GH3? AG63． 6C E B
F
D A
12132323． 31313∴AC与面AEF所成的角为arc sin
变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，?BAD＝?BDC＝90°，AB＝AD＝32，BC＝2CD．求： (1) 求AC的长；
(2) 求证：平面ABC⊥平面ACD； (3) 求D点到平面ABC的距离d．
解：(1) 30 (2)略．
(3)因VA－DBC＝(DC×BD)×OA＝63，
B C
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A 1132D
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