考点二十八：直角三角形
聚焦考点☆温习理解 一、直角三角形 1.定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 2.性质
(1)直角三角形两锐角互余.
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3.判定
(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.
(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 二、勾股定理及逆定理 1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2; 2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 三、直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理(斜边、直角边定理)：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
名师点睛☆典例分类 考点典例一、直角三角形的判定
【例1】(2017-2018学年山东省诸城市桃林镇桃林初中期末模拟)下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是( )
A. 三个内角之比为1：2：3 B. 一边上的中线等于该边的一半
C. 三边为 、
、 D.
三边长为m2+n2、m2﹣n2、2mn(m≠0，n≠0) 【答案】C
【举一反三】
(2018年广西防城港市中考模拟)如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 (多选、错选不得分)． ①∠A+∠B=90°
②AB2=AC2+BC2
③
④CD2=AD?BD．
【答案】①②④．
【解析】试题解析：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°， ∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误； ④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
又∵CD2=AD?BD，(即 ∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90° △ABC是直角三角形 ∴故选项④正确； 故答案为：①②④．
)
(2018·保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2. 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a. 11
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
2211
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
221111
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)． 2222∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
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