北师大版高中数学必修5全本教案

北师大版高中数学必修5全本教案

变式训练三：教材第53页第3、4题． 六、课堂小结：

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式及变形式 七、板书设计 八、课后作业

阅读教材第48～50页；

北师大版高中数学必修5全本教案

1.2.4等比数列（二）

一、知识与技能

1.了解等比数列更多的性质;

2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;

3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题. 二、过程与方法

1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学; 2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;

3.当好学生学习的合作者的角色. 三、情感态度与价值观

1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;

2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.

教学过程

导入新课

(1)将数列{an}的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,

则数列a k+1,ak+2,…,可视为b1,b2，…. 因为

bi?1ak?i?1??q (i≥1),所以，{bn}是等比数列，即a k+1，ak+2,…是等比biak?i

数列.

(2){an}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，…,则

aa11a21??...?10k?1?...?q10 (k≥1).a1a11a10k?910

所以数列a1,a 11,a21,…是以a1为首项，q为公比的等比数列.

猜想：在数列{an}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个

m

数列是以a1为首项、q为公比的等比数列. 第4题解答：

(1)设{an}的公比是q，则 a52=(a1q4)2=a12q8,

2628

而a3·a7=a1q·a1q=a1q,

2

所以a5=a3·a7.

2

同理,a5=a1·a9.

2

(2)用上面的方法不难证明an=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出，an是a n-1和a n+1的

2

等比中项，同理可证an=a n-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中项(n＞k＞0).

师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，

北师大版高中数学必修5全本教案

就要对它作进一步的探究. 推进新课

［合作探究］

例题1 (教材P61B组第3题)就任一等差数列{an}，计算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？

*

猜想对于等比数列{an}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N)，则 ak·as=ap·at.

证明：设等比数列{an}公比为q，

k-1s-12k+s-2

则有ak·a s=a1q·a1q=a1·q, ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2. 因为k+s=p+t,

所以有ak·as=ap·at.

*

即等比数列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N)，则有ak·as=ap·at. 下面有两个结论：

(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积； (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.

例题2

（1）在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8. .

［合作探究］

判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.

例题3：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格. 从中你能得出什么结论？证明你的结论. 例 an bn an·bn 判断{an·bn}是否是等比数列 是 n-12n4-5×2 3?() ?10?()n?1 33自选1 自选2 得到：如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数

列.

证明如下：

设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项

n-1n-1nn分别为a1pb1q与a1pb1q，因为

an?1?bn?1a1pnb1qn??pq, n?1n?1anbna1pb1q北师大版高中数学必修5全本教案

它是一个与n无关的常数，所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列. ［教师精讲］

除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：

设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项、第n-1项

*n-1 n-1 n-2n-2nn与第n＋1项(n＞1,n∈N )分别为a1p b1q、a1pb1q与a1pb1q，因为

2 n-1n-122 2(n-1)

(anbn)=(a1pb1q)=(a1b1)(pq),

n-2n-2nn22(n-1)

(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)=(a1pb1q)(a1pb1q)=(a1b1)(pq),

2*

即有(anbn)=(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)(n＞1,n∈N ), 所以{an·bn}是一个等比数列.

证法三：设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的通项公式为

anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1,

n-1

设cn=anbn,则cn=(a1b1)(pq), 所以{an·bn}是一个等比数列. 课堂小结

本节学习了如下内容： 1.等比数列的性质的探究. 2.证明等比数列的常用方法. 布置作业

课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.

板书设计 等比数列的基本性质及其应用 例1 例2 例3 北师大版高中数学必修5全本教案

1.3.2等比数列的前n项和

教学目标：

1.了解等比数列前n项和公式及其获取思路，会用等比数列的前n项和公式解决简单的与前n项和有关的问题．

2.提高学生的推理能力，培养学生应用意识． 教学重点：

等比数列前n项和公式的理解、推导及应用． 教学难点：

应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题． 教学过程： 一． 材料1：

数学小故事：国际象棋起源于印度。棋盘上共有8行8列构成64个格子。传说国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在棋盘的第2个格子里放上2颗麦粒，在棋盘的第3个格子里放上4颗麦粒，在棋盘的第4个格子里放上8颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。”

问题1：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是：

1，2，4，8，…，2 问题2：这是什么数列？等比数列

问题3：那麦粒总数是多少呢？1+2+4+…+2+2。 即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，

前64项和可表示为：

62

63

63

S64?1?2?4?8???262?263， ①

材料2：就在国王犹豫是否要答应发明者的要求时，站在一旁一位将告老还乡的大臣听后不满地说：“我跟陛下这么多年战功卓著，请求陛下同样赏赐给我麦子，在棋盘的第一格子里放上2颗麦粒，在第2个格子里放上4颗麦粒，在第3个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个