经典
(四)立体几何
1．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥PA，PB＝PA，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝8，BC＝6，CD＝10，M是PA的中点．
(1)求证：BM∥平面PCD； (2)求三棱锥B－CDM的体积． (1)证明 取PD中点N，连接MN，NC， ∵MN为△PAD的中位线， 1
∴MN∥AD，且MN＝AD.
21
又∵BC∥AD，且BC＝AD，
2
∴MN∥BC，且MN＝BC，则BMNC为平行四边形， ∴BM∥NC，
又∵NC?平面PCD，MB?平面PCD， ∴BM∥平面PCD.
(2)解 过M作AB的垂线，垂足为M′， 又∵平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，MM′?平面PAB， ∴MM′⊥平面ABCD.
∴MM′为三棱锥M－BCD 的高， ∵AB＝8，PA＝PB，∠BPA＝90°， ∴△PAB边AB上的高为4，
∴MM′＝2，过C作CH⊥AD交AD于点H， 则CH＝AB＝8，
S△BCD＝×BC×CH＝×6×8＝24，
11
∴VB－CDM＝VM－BCD＝S△BCD×MM′＝×24×2＝16.
33
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.
1
212
经典
(1)求证：AB∥EF；
(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD.
又AB?平面PDC，CD?平面PDC， 所以AB∥平面PDC，
又因为AB?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF.
(2)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF， 所以AB⊥AF.
由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D， 所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又AB?平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD.
3．(2018·安徽省合肥市第一中学模拟)在如图所示的几何体ACBFE中，AB＝BC，AE＝EC，D为AC的中点，EF∥DB.
(1)求证：AC⊥FB；
(2)若AB⊥BC，AB＝4，AE＝3，BF＝3，BD＝2EF，求该几何体的体积． (1)证明 ∵EF∥BD，
∴EF与BD确定平面EFBD，连接DE， ∵AE＝EC，D为AC的中点， ∴DE⊥AC.同理可得BD⊥AC， 又∵BD∩DE＝D，BD，DE?平面EFBD， ∴AC⊥平面EFBD，
∵FB?平面EFBD，∴AC⊥FB.
经典
(2)解 由(1)可知AC⊥平面BDEF， 1
∴VACBFE＝VA－BDEF＋VC－BDEF＝·SBDEF·AC，
3∵AB＝BC，AB⊥BC，AB＝4， ∴AC＝42，BD＝22， 又AE＝3，∴DE＝AE－AD＝1.
在梯形BDEF中，取BD的中点M，连接MF， 则EF∥DM且EF＝DM， ∴四边形FMDE为平行四边形， ∴FM∥DE且FM＝DE.又BF＝3， ∴BF＝FM＋BM，
132
∴FM⊥BM，S梯形BDEF＝×(2＋22)×1＝，
22132
∴VACBFE＝××42＝4.
32
1
4.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝BC，AD＝1，∠ABC＝60°，
2
2
2
2
2
2
EF∥AC，EF＝AC.
12
(1)证明：AB⊥CF；
33
(2)若多面体ABCDFE的体积为，求线段CF的长．
8(1)证明 ∵EA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴EA⊥AB， 作AH⊥BC于点H，
1
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，BH＝，得AB＝1，
2在△ABC中，AC＝AB＋BC－2AB·BCcos 60°＝3， ∴AB＋AC＝BC， ∴AB⊥AC.
2
2
22
2
2
经典
又AC∩EA＝A，AC，EA?平面ACFE， ∴AB⊥平面ACFE，
又∵CF?平面ACFE，∴AB⊥CF.
(2)解 设AE＝a，作DG⊥AC于点G， 由题意可知平面ACFE⊥平面ABCD，
又平面ACFE∩平面ABCD＝AC，DG?平面ABCD， 1
∴DG⊥平面ACFE，且DG＝，
21
又VB－ACFE＝S梯形ACFE×AB
3
11?33?
＝××?＋3?×a×1＝a， 32?24?
VD－ACFE＝S梯形ACFE×DG
11?313?
＝××?＋3?×a×＝a， 32?228?∴V多面体ABCDFE＝VB－ACFE＋VD－ACFE 3333＝a＝，
88
得a＝1.连接FG，则FG⊥AC， ∴CF＝FG＋CG＝
2
2
1
3
1＋?
7?3?2
?＝2. ?2?
5．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD1
的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD，BC＝AD.
2
(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；
1
(2)若三棱锥A—BMQ的体积是四棱锥P—ABCD体积的，设PM＝tMC，试确定t的值．
61
(1)证明 ∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，
2∴QD∥BC且QD＝BC，
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